OpenAIにはまだ大きな手札がある！
オーテマンがデモした内部モデルAstraが、10の数学的難問で一気に大きな進展を遂げました！
この249ページのPDFは、数学界全体で非常に衝撃的です。
論文：https://cdn.openai.com/pdf/ten-proofs-oai.pdf
証明：https://openai.com/index/ten-advances-in-mathematics/
GithubでオープンソースのLean証明：https://github.com/openai/ten-proofs
数学者、アメリカ数学学会フェロー、ローガース大学優秀教授のアレックス・コントロロビッチは驚きを隠せず、二つの感嘆符だけを残した。
これは数学の分野でもAGIの道のりにおいても、歴史に刻まれる分岐点です。
もっと率直に言えば：もしこれらの結果が学界全体の検証に耐えられるなら、今日のこの一連の発表だけでも、関連分野において現代史で最大級の日単位の飛躍と呼べるだろう！
Claude Fable 5はさらに明言した：「フィールズ賞の基準に照らしても、いずれも十分に受賞に値する」！
最も驚異的なのは、この10の難題を解くためにOpenAIがわずか2000ドルしか使わなかったことである。
数学界に衝撃！AIの歴史に刻まれる瞬間
5月、OpenAIはAIが発見したエルデシュの単位距離予想の反例を発表しました。
しかし、これはOpenAIの次世代モデルAstraが解読したものであり、オットマンが現在アメリカ議会にデモしているモデルであることが確認されました。
現在、OpenAIは、少なくとも10年間進展がなかった課題について、Astraの最新成果を共有しました。
これらの問題は、高次元幾何学、符号理論、算術回路の複雑性、群論、作用素代数、量子複雑性、格暗号、極値組合せ論など、広範な分野に関係しています。
メッセージが公開されると、数学界は一瞬で騒然となった！
その中で、最も優れた成果は、Astraが1999年にグロモフが提起した非ソフィック群の問題を解決したことです。
錢学森の母校であるカリフォルニア工科大学のある数学博士は、「これはフィールズ賞級の成果だ！」と述べた。
Epoch AIのOpenMathの評価基準に基づき、GPT-5.6 Sol ProおよびFable 5 Maxは以下のように判断しました：
大部分の結果が業界から高い評価を受け、「Major Advance」（重大な進歩）と評されています。
唯一の第3項目は、分野を越える可能性を有し、今年の数学分野における最高成果の一つとなり、「ブレイクスルー」と評価された。
三番目の結果も反例である：
OpenAI Astraは、無限有限表示を持つ非sofic群を構成し、「すべての可算群はsoficである」という予想を否定した。
マンチェスター大学ロイヤル・ソサエティ研究員で数学者のトーマス・ブルームは、このブレークスルーは以前のOpenAIによる単位距離予想の反証よりも重要であると明言した。
また、これらの10の画期的な成果の証明を生成する総コストは、Sol APIの価格に基づけば2000ドル未満、平均で200ドルです。
つまり、科学的価値のある予想を解決するには、大学院生の週末の手当程度の費用しかかからないということです。
そして、これらすべては、未発表のモデルを評価する際に偶然得られた「副産物」に過ぎなかった。
もう一点、注意深く見ないと見過ごしてしまうかもしれません：
これらの10の仮説は、OpenAIが厳選した結果です！
OpenAIの推論モデルの主要な開発者であるノア・ブラウンが直接強烈な発言をした。
彼は、OpenAIは他の難題にも挑戦してきたが、リーマン予想のようなミレニアム懸賞問題に類するものはまだ解決していないと明言した。
しかし、より重要なのは、テスト中に計算リソースはまだ上限に達していないため、百万ドル級の世界的な難題さえも解き得る可能性があるということです。
感慨深く、悲しいことだ：数学はまだ人間の知性の誇りであろうか？
249ページのPDF、とても衝撃的です
この249ページの論文が数学界に衝撃を与えたのは、計算や推論によるものではなく、AIが幾何学、代数、群論などの分野で、数学の達人のように次元を下げたような証明と反証を同時に成し遂げたからである。
複数の異なる分野で複数のハードコアなブレークスルーを達成したことは、他に類を見ない。それ自体が印象的である。今回は主に3つの課題を紹介する。
世紀の執念を断つ：史上初の「非ソフィック群」を特定する
1999年、ロシアの数学者で、数学のノーベル賞と呼ばれるノルウェーのアーベル賞受賞者であるミハイル・グロモフが、sofic群の概念を提唱した。
Sofic、ヘブライ語で「有限」を意味する。
簡単に言えば、無限大の複雑な群が、有限の置換を用いてその局所的な乗法表を完璧に近似・模倣できる場合、その群はソフィックである。
それは、「いかに複雑な無限の三次元モデルでも、有限のピクセル（ボクセル）で完璧にレンダリングできる」と考えることができる。
その後の疑問は：すべての可算群はソフィック群か？
これは些細な技術的詳細ではありません。ソフィック群の性質は、ソフィックエントロピー理論、力学系の遍歷理論、作用素代数など、広範な数学の分野に影響を与えています。もしこの問題の答えが「いいえ」であるなら、有限構造では近似できない群が存在することを意味し、その理論全体を見直す必要が生じます。
27年間、無数のトップ数学者が反例を構成しようと試みたが、いずれも成功しなかった。
Astraの回答は：無限かつ有限表示される非ソフィック群を構成することである。
OpenAI Astraは、数学のコードベースから直接「二元Leavitt代数の単位群」という既存の構造を抽出し、この群は有限置換では近似できないという完璧な証明を提示した。
これを証明するために、AIは極めて暴走し、Kun-Thom拡張グラフ理論と有名な「トムソン群V（Thompson's group V）」を無理やり組み合わせて、論理的矛盾を生み出しました。
これは、人間がまだピクセル化できない物質をあちこち探しているところに、AIが机の上の高次元キューブを指差して、「探さなくていい、これがそれだ。証明してみせよう。」と言うようなものだ。
完全な構築。論証あり。詳細あり。
さらに重要なのは、Lean 4を用いて形式的検証を行い、機械が独立して検証可能な証明書を付与することです。
これが分水嶺である。Lean 4の証明により、すべての推論ステップが機械的に形式的に検証され、「感覚的に正しい」という曖昧なやり方でやり過ごす余地は一切ない。
数学者エリオット・グレイザーが即座にこの情報の真実性を確認し、これを「これまでで最も重要なAI支援数学成果」と称した。
46年間凍結された結界を打ち破る：高次元球体の積み重ね問題
紙箱にできるだけ多くのオレンジを詰め込むにはどうすればよいでしょうか？
三次元の世界では、人類は数百年前にケプラー予想を通じてようやく理解した。しかし、高次元空間では、この問題は悪夢のように变得。
2022年、数学者マリナ・セルヒイヴナ・ビアゾフスカは、8次元および24次元の球体充填（Sphere Packing）問題を解決したことで、数学界の最高栄誉である「フィールズ賞」を受賞した。
衝撃のポイント：1978年以来、この分野における人間の「知的天井」を直接突破した。
ただし、彼女が解いたのは「特定の次元」であることに注意してください。
次元が無限大に近づくと、密度の上限はどれほどになるでしょうか？
1978年、2人のロシアの数学者が極限を提示して以来、46年間、世界で最も優れた数学者たちは一歩も進まず、小数点以下の桁数すら最適化できなかった。
そして今回、AIは軽々とこの死胡同に入り込んだ。
それは新たな証明を提示するだけでなく、Cohn-Elkies線形計画の指数減衰率を直接正確に計算し、1978年の境界を初めて突破しました！
これは、人類がこの高山の前で半世紀も登ろうとしていたが登れなかったのに対し、AIはヘリコプターでいきなり頂上に到達し、その道を整備してしまったようなものだ。
超越フィールズ賞受賞者の直感、コンネスの剛性予想を覆す
1982年のフィールズ賞受賞者で、非可換幾何学の創始者であるアラン・コネスは、有名な「剛性予想」を提唱した：ある特定の極めて特殊な群に対して、それらが生成するフォン・ノイマン代数は指紋のように唯一無二である。
数十年間、数学者たちはこの予想の迷宮の中で行き来してきた。
結果、OpenAIの新しいモデルは迷宮を抜け出すだけでなく、迷宮を壊してしまった。
それはコンナーが間違っていることを証明するだけでなく、極めて圧倒的な反証方法を示している：単に一つの反例を見つけるのではなく、直接「可算無限の群の家族」を構成したのだ。
これらの群は互いに同型ではなく（まったく異なる構造を持ちますが）、それらが生成するフォン・ノイマン代数はまったく同じです！
これは、コンヌが「世界に同じ内部原子構造を持つ雪片は二枚とない」と断言したようなものだが、AIはその二枚を見つけるだけでなく、逆に暴風雪を降らせ、それぞれの雪片の外観はすべて異なりながらも、その核心的な代数構造は完全に等しいものとなった。
数学者の「壁を破る者」が登場
「AIの父」ヒントンは予言する：
今後10年から20年の間に、AIは人間が理解できない新しい数学を生み出す可能性さえある。
しかし、OpenAIの今回の結果は、そのタイムテーブルを非常に保守的に見せている。
ハードコアな数学的証明に加えて、OpenAIの次世代モデルAstraは「条件確率」を用いて量子もつれゲームを解き、「多項式の微分」を用いて計算複雑性の下限を構築できる。
このような問題を解決するには真の推論が必要であり、OpenAI Astraは極めて深遠な純粋数学的直感と構築能力を習得している。OpenAIは今回、完全な推論プロセスを公開した：
https://cdn.openai.com/pdf/reasoning-walkthroughs.pdf
これは明確な例かもしれません：AIは人間で最も優れた数学者よりも賢いです。
数学界にとって、この論文は数学者の「壁を破る者」がすでに登場したことを告げるものである。
参考資料：
https://cdn.openai.com/pdf/ten-proofs-oai.pdf
https://openai.com/index/ten-advances-in-mathematics/
https://x.com/stalkermustang/status/2083485500250198453
編集：ダビッド
本文は微信公众号「新智元」より、著者：ASI启示録