Tóm tắt do AI tạo: Nhóm từ Đại học Florida đã áp dụng giả thuyết Kakeya ba chiều vừa được chứng minh vào việc huấn luyện mô hình lớn, phát triển phương pháp GeoLAN để giải quyết vấn đề “hộp đen” của AI. Phương pháp này sử dụng khái niệm “tập Kakeya dính” sinh ra từ chứng minh giả thuyết Kakeya, áp đặt ràng buộc hình học lên không gian ngữ nghĩa của mô hình lớn, sắp xếp rõ ràng các khái niệm ngay từ giai đoạn huấn luyện, giúp lộ trình suy luận của AI có thể truy vết được. Thí nghiệm cho thấy cải thiện đáng kể trên các mô hình như Llama-3-8B và Gemma-3-4B. Đồng thời, người đoạt giải Fields năm nay, Jacob Tsimerman, đã công bố gia nhập OpenAI để làm việc về an toàn AI vào chính ngày nhận giải, cho thấy sự hội tụ ngày càng nhanh chóng giữa toán học và AI.

Tác giả bài viết, nguồn: LeFeng.com

Giới toán học và giới AI đã phối hợp chặt chẽ

Các thành quả toán học thuần túy ở cấp độ cao đã được áp dụng trực tiếp vào đào tạo mô hình lớn.

Một tác giả trên Xiaohongshu tên Z9 phát hiện trong khi lật lại các bài báo nghiên cứu rằng giả thuyết Kakeya ba chiều vừa gây sốt toàn mạng đã được nhóm từ Đại học Florida tích hợp vào quy trình huấn luyện mạng nơ-ron, giải quyết跨界 vấn đề “hộp đen” của các mô hình lớn.

Bài luận của họ có tên là “GeoLAN: Geometric Learning of Latent Explanatory Directions in Large Language Models”, cốt lõi là sử dụng khái niệm cốt lõi được sinh ra từ chứng minh giả thuyết Kakeya — “tập Kakeya dính” — để thiết lập một “quy tắc sắp xếp” cho không gian ngữ nghĩa nội tại của các mô hình lớn, từ giai đoạn huấn luyện đã làm rõ những khái niệm rối loạn, giúp đường lối suy nghĩ của AI thực sự có thể truy vết được.

Thật đúng là trước có các chuyên gia toán học khai phá, sau có các nhà nghiên cứu AI nhặt được kho báu.

Vấn đề nền tảng của các mô hình lớn: sụp đổ biểu diễn

Hãy bắt đầu từ vấn đề “hộp đen” mà mọi người đều cảm nhận được.

Các mô hình lớn hiện nay có tỷ lệ chính xác rất cao khi giải bài tập, viết mã và phân tích, nhưng khi bạn hỏi “Làm thế nào để nghĩ ra bước này?”, chúng hoặc không giải thích rõ ràng, hoặc bịa ra một lý do giả để lừa bạn.

Nguồn gốc của vấn đề này nằm trong một đặc tính cơ bản gọi là sụp đổ biểu diễn.

Bạn có thể tưởng tượng không gian ngữ nghĩa của mô hình lớn như một kho thông minh khổng lồ với hàng ngàn tầng, về lý thuyết có thể sắp xếp phân loại vô số khái niệm: logic, cảm xúc, sự thật, suy luận, mỗi cái đều chiếm một vị trí riêng.

Nhưng khi huấn luyện, Transformer đặc biệt “lười biếng”, nó luôn thích dồn toàn bộ thông tin ngữ nghĩa vào một khu vực nhỏ ngay trước cửa kho, để trống 90% không gian còn lại.

Kết quả là, tất cả các khái niệm đều bị nén vào một vùng hình nón đa chiều hẹp, điều này được giới học thuật gọi là “tính dị hướng”.

Tuy nhiên, hậu quả của việc chen chúc sẽ mang lại nhiều vấn đề.

Ví dụ, sự vướng víu khái niệm sẽ ép buộc những nội dung hoàn toàn không liên quan vào cùng một hướng, khiến một nơ-ron vừa phải phản ứng với “mèo”, vừa kích hoạt “câu Kinh Thánh”.

Và bạn hoàn toàn không thể phân biệt phần biểu diễn nào tương ứng với logic nào, ngay cả mô hình cũng không thể phục hồi lại con đường tư duy thực tế.

Khi gộp các khái niệm tương tự nhưng khác nhau vào một chỗ, dễ gây nhầm lẫn; chỉ cần thay đổi cách đặt câu hỏi một chút, AI sẽ dễ nói bậy.

Đối với điều này, bài báo có một tóm tắt rất chính xác: vài vài "chiều độc hại" chiếm phần lớn phương sai thông tin, làm lãng phí toàn bộ dung lượng hiệu quả của mô hình.

Vấn đề này là nhược điểm của hầu hết các kiến trúc Transformer chính流, từ GPT, Llama đến Gemma đều không tránh khỏi.

Trước tình thế này, các giải pháp trước đây trong ngành chủ yếu là “chữa cháy sau sự việc”, tức là đợi khi mô hình được huấn luyện xong, mới sử dụng các công cụ như sparse autoencoder để gỡ rời các khái niệm bị rối lộn.

Tuy nhiên, kết quả phân tách theo cách này chỉ mang tính “hợp lý về mặt hình thức”, không nhất thiết phản ánh đúng logic bên trong mô hình, độ trung thực luôn bị giảm sút.

Bây giờ, tư duy của GeoLAN đã thay đổi hoàn toàn: đừng đợi đến khi hỗn loạn mới dọn dẹp, mà ngay từ đầu hãy sắp xếp theo quy tắc. Trong suốt quá trình huấn luyện, áp dụng các ràng buộc hình học vào không gian biểu diễn để mỗi khái niệm đều nằm đúng vị trí của nó.

Giả thuyết Kakeya liên quan đến AI như thế nào?

Để hiểu được tư tưởng của GeoLAN, trước tiên phải biết giả thuyết Taniyama-Shimura đang nói về điều gì.

Năm 1917, nhà toán học Kakeya Sōichi đặt ra một câu hỏi tưởng chừng đơn giản nhưng đã làm đau đầu giới toán học trong nửa thế kỷ: lấy một chiếc kim dài 1 cm, xoay nó một vòng trên mặt bàn, diện tích nhỏ nhất mà nó quét qua có thể nhỏ đến mức nào?

Bạn có thể nghĩ rằng, quay một vòng thì chắc chắn phải vẽ thành một vòng tròn, diện tích sẽ không nhỏ được. Nhưng các nhà toán học đã phát hiện ra rằng, nó có thể tiến gần đến 0.

Làm thế nào để thực hiện điều đó?

Nếu bạn cho một kim vừa quay vừa trượt, nó có thể tạo ra một hình dạng kỳ lạ có diện tích gần như bằng không. Nói cách khác, trong không gian hai chiều, bạn có thể nhét toàn bộ quỹ đạo hình học vào một góc cực nhỏ.

Thử thách được nâng lên một cấp độ mới, nếu trong không gian ba chiều thì sao? Khi cây kim này có thể quay theo vô số hướng không gian — lên, xuống, trái, phải — thì để nhét hết tất cả những cây kim theo mọi hướng này vào một không gian, không gian đó ít nhất cần lớn bao nhiêu?

Theo kinh nghiệm hai chiều, trong không gian ba chiều, thể tích tuyệt đối của hình này vẫn có thể bị nén lại gần như bằng không.

Nhưng ở đây xuất hiện một câu đố mới: Dù hình dạng này trống rỗng đến mức không có thể tích, liệu nó có bị co lại và suy thoái ở cấp độ vi mô không? Các nhà toán học đã giới thiệu khái niệm “số chiều fractal” để đo độ dày đặc của cấu trúc xương của nó.

Cuối cùng, Vương Hồng và những người khác phát hiện ra rằng, ngay cả khi bạn nén thể tích của hình dạng đến mức rỗng nhất, để đáp ứng mọi kim theo mọi hướng, khung xương đan xen bên trong vẫn duy trì sự “đầy đặn ba chiều” vững chắc, không hề suy giảm ở cấp độ vi mô. Đây chính là điểm vĩ đại giúp Vương Hồng giải quyết bài toán suốt cả thế kỷ.

Chính trong quá trình chứng minh cứng nhắc này, một khái niệm cực kỳ quan trọng đã ra đời gọi là "tập giá trị dính".

“Dính” nói đơn giản là một bộ quy tắc chống擠. Nó được thiết kế đặc biệt để kiểm soát các đoạn và ống, không cho chúng lại gần nhau.

Nếu một nhóm ống tuân thủ các quy tắc này, chúng sẽ trải đều ra một cách ngoan ngoãn, không gian sẽ giữ nguyên kích thước của nó; nhưng nếu chúng không tuân thủ, tất cả chen chúc vào một góc nhỏ, “kích thước” của không gian sẽ bị thu nhỏ, trông giống như bị nén lại.

Đến đây bạn đã có thể hiểu rồi: sự sụp đổ biểu diễn của mô hình lớn chẳng phải chính là “ống ngữ nghĩa không thỏa mãn điều kiện dính, tất cả bị nén lại làm một sao”?

Điều GeoLAN làm là trực tiếp áp dụng kết luận toán học của giả thuyết Gu Valley làm tiêu chuẩn kỹ thuật:既然数学上已经严格证明 “满足粘性，空间不坍缩”，那我们就给大模型的语义空间也加上同款粘性约束，让它的表征天然就不会挤成一团。

Phải nhét quy tắc này vào quá trình huấn luyện, cốt lõi là tạo ra một hàm phạt có thể định lượng, tức là mô hình có thể tính toán được và biết cách sửa đổi.

Sau đó, GeoLAN thiết kế hai bộ quy tắc phạt có thể tính toán, biến các quy tắc hình học trong giả thuyết谷 thành các mục tiêu huấn luyện. Một cái gọi là KT-CW, chuyên trị “ngữ nghĩa tập trung quá mức”; cái còn lại gọi là KT-Attn, chuyên trị “sự lười biếng trong sự chú ý”.

Nói một cách đơn giản, KT-CW là việc trong quá trình huấn luyện, ngẫu nhiên kiểm tra các hướng trong không gian ngữ nghĩa. Nếu phát hiện một hướng nào đó chứa quá nhiều thông tin ngữ nghĩa, mô hình sẽ bị trừ điểm. Điều này buộc mô hình phân bổ kiến thức đều khắp mọi góc của không gian chiều cao, tận dụng hết tất cả các chiều trước đây bị lãng phí, từ đó giải quyết triệt để vấn đề “bị chen chúc”.

Một bộ KT-Attn khác được thiết kế đặc biệt để khắc phục hành vi “lười biếng” trong cơ chế chú ý. Trong giai đoạn cuối của quá trình huấn luyện, các đầu chú ý của mô hình lớn thường rơi vào tình trạng đồng nhất nghiêm trọng, khi nhiều đầu chỉ liên tục tập trung vào cùng một từ và cùng một vị trí, trong khi lực lượng lao động hiệu quả thực sự cực kỳ ít ỏi. Quy tắc này buộc mỗi đầu chú ý phải tập trung vào các vùng ngữ nghĩa hoàn toàn khác nhau, đảm bảo sự bao phủ toàn diện theo mọi hướng và loại bỏ triệt để hiện tượng sụp đổ hạng của các đầu chú ý.

Sau khi thực hiện loạt đòn này, hiệu quả có thể thấy ngay lập tức.

Trên Llama-3-8B, GeoLAN đã biến không gian biểu diễn hình nón bị bóp méo thành một hình cầu tròn trịa, làm giảm đáng kể mức độ chen chúc và tăng đáng kể tính đồng đều theo mọi hướng, đồng thời duy trì độ chính xác của nhiệm vụ.

Trên Gemma-3-4B, độ chính xác MMLU tăng từ 0.59 lên 0.60, tương đương tăng khoảng 0.75 điểm phần trăm. Tính ổn định ngữ nghĩa của TruthfulQA được cải thiện đáng kể.

Trên Gemma-3-12B với quy mô lớn hơn, chỉ số tỷ lệ thiên kiến cũng ghi nhận sự giảm rõ rệt về mặt thống kê.

Điều thú vị hơn là bài báo còn phát hiện ra một hiện tượng thú vị gọi là "vùng Goldilocks".

Việc phân bố đều những ràng buộc hình học khắt khe này lại trở thành thảm họa đối với các mô hình có quá ít tham số; các mô hình nhỏ vốn cần dựa vào sự vướng víu khái niệm để nén ngữ nghĩa ở mức tối đa, việc cưỡng chế tách rời chỉ khiến cấu trúc hình học bên trong trở nên tồi tệ hơn.

Đối với các mô hình khổng lồ có quy mô quá lớn, quá trình tiền huấn luyện đồ sộ đã tự phát hình thành nên cấu trúc đa tạp cực kỳ phức tạp; thêm vào đó là bộ quy tắc này không những không phù hợp mà còn làm giảm hiệu suất tổng thể.

Chỉ các mô hình có quy mô trung bình như bốn đến tám tỷ tham số mới có đủ không gian để tận dụng tối đa lợi ích từ phân phối đồng đều, từ đó mang lại hiệu quả tốt nhất.

Hơn nữa, bài báo còn suy ra một định lý tinh vi gọi là “Định lý tính dính ngữ nghĩa”: khi đặc trưng đáp ứng “quy tắc chống chèn ép”, các khái niệm ngữ nghĩa khác nhau sẽ tự động phân tách thành các không gian con xấp xỉ vuông góc với nhau, mà bài báo gọi một cách hình tượng là các hạt. Mỗi không gian con có thể được giải thích và điều chỉnh độc lập, điều này có nghĩa là vấn đề hộp đen đã làm phiền ngành công nghiệp nhiều năm nay đã trở nên minh bạch.

Một bài báo ACL đã kéo giả thuyết Tsuruoka ra khỏi đền thờ toán học thuần túy và đưa vào lĩnh vực kỹ thuật AI.

Người đoạt giải Fields, được công bố cùng ngày gia nhập OpenAI

Một điểm đáng chú ý khác là trong số những người đoạt giải Fields lần này, có một nhà toán học nổi tiếng Jacob Tsimerman, người đã công bố ngay trong ngày nhận giải rằng anh sẽ sớm gia nhập OpenAI để làm việc về an toàn AI.

Điều này khiến người ta phải chú ý đến mối liên hệ chặt chẽ giữa toán học tiên tiến và AI.

Một năm trước, anh ấy cùng các nhà nghiên cứu an toàn AI tại Berkeley, Andrew Critch, đồng tác giả bài báo “A Taxonomy of Omnicidal Futures Involving Artificial Intelligence”, sử dụng sự nghiêm ngặt cực độ của toán học để xây dựng hệ thống phân loại chặt chẽ cho các lộ trình rủi ro của AI.

Chính anh ấy là người được hưởng lợi nặng nề từ AI, năm 2025 anh đã có 5 bài báo toán học được đăng trên arXiv, thẳng thắn cho rằng AI đã giúp hiệu suất nghiên cứu của mình tăng gấp đôi.

Điều còn kịch tính hơn là ba ngày trước lễ trao giải, một người đã sử dụng Claude Fable 5 mới nhất của Anthropic để lật đổ giả thuyết Jacobi đã bị treo suốt 87 năm, gây chấn động giới toán học toàn cầu. Người đó chính là học trò của anh ấy, Levent Alpöge.

Trước sự tiến bộ không ngừng của AI, thậm chí còn vượt qua các nhà toán học hàng đầu về “chỉ số thông minh”, ngay cả bậc thầy toán học Timothy đã công khai bày tỏ: Đây là lần đầu tiên trong đời ông chứng kiến các mô hình ngôn ngữ lớn dễ dàng giải quyết những bài toán thiên niên kỷ nổi tiếng trong một lĩnh vực hoàn toàn mới mẻ với ông.

Mối quan hệ giữa toán học và AI đã vượt quá phạm vi có thể mô tả bằng từ “không thể tách rời”, và chúng đang hòa quyện vào nhau với tốc độ kinh ngạc.

Xem lại thành tích của AI trong năm qua tại sân chơi toán học: từ AlphaProof của DeepMind giành huy chương bạc tại kỳ thi Toán học Quốc tế, đến mô hình suy luận của OpenAI giải quyết thành công giả thuyết khoảng cách đơn của Erdős – bài toán treo suốt tám thập kỷ, rồi đến GPT-5.6 chỉ mất một giờ để giải quyết giả thuyết bao phủ vòng kép, và Claude Fable 5 xóa sạch giả thuyết Jacobson trong một đêm. AI đã liên tục lập nên nhiều kỷ lục thế giới chỉ trong hai tháng, và tốc độ giải quyết các bài toán khó đang tăng theo cấp số nhân.

Trong cuộc phỏng vấn với AMS, Jacob thẳng thắn nói: “Trong giới toán học có rất nhiều sự tự an ủi, khi thấy AI hiện tại chưa bằng các nhà toán học, họ suy luận rằng nó sẽ mãi không bao giờ bằng.” Anh ấy đã chứng minh bằng thực tiễn rằng, dù các chứng minh của mô hình “không hoàn chỉnh, không chặt chẽ”, nhưng “thường có thể đưa ra phương pháp cơ bản đúng đắn, giúp bạn hoàn thành tới 80% hành trình.”

Anh ấy thậm chí cho rằng trong vòng hai năm, AI sẽ vượt trội hoàn toàn con người trong việc chứng minh toán học.

Vậy thì vấn đề đặt ra là: vào năm 2030, bốn năm sau, liệu giải Fields còn có người chiến thắng là con người không?

Giải Fields có giới hạn tuổi cứng nhắc, người đoạt giải phải chưa đầy 40 tuổi. Điều này có nghĩa là nếu AI trong vòng bốn năm tới vượt hệ thống khả năng khám phá gốc của các nhà toán học con người, hội đồng xét giải sẽ đối mặt với một tình thế chưa từng có: bạn đang trao giải cho người thực hiện công trình toán học xuất sắc nhất, hay trao giải cho người thực hiện công trình toán học xuất sắc nhất trong số những người thuộc về loài người?

Điều thú vị hơn nữa là sự tăng tốc hai chiều giữa toán học và AI. Giả thuyết Kakeya ba chiều vừa được chứng minh, ba tháng sau đã xuất hiện GeoLAN — thành tựu toán học thuần túy trực tiếp trở thành công cụ huấn luyện mô hình lớn. Hôm nay, những đột phá trong giả thuyết André-Oort và vấn đề thứ sáu của Hilbert được ghi nhận tại Giải Fields, ngày mai sẽ sinh ra những khả năng AI nào nữa?

Trước đây, người ta thường nói các nhà toán học đi tiên phong mở đường, còn AI chỉ đi theo sau để nhặt của rơi. Nhưng giờ đây, người từng nhặt của rơi đã bắt đầu tự mình mở đường.