Fable 5 bác bỏ giả thuyết Jacobian 87 năm tuổi, làm chấn động cộng đồng toán học

Hôm đó, cả cộng đồng toán học đều chấn động.

Giả thuyết Jacobi – một bài toán toán học siêu khó khiến vô số nhà toán học hàng đầu thất bại, khiến thiên tài toán học Hoa Kiều Trương Nghị Đường phải khổ công bảy năm và buộc phải rửa chén tại Subway – đã bị Fable 5 bác bỏ!

Vào buổi tối hôm qua, nhà nghiên cứu của Anthropic, Levent Alpoge, đã đăng tweet:

Xin chào mọi người, giả thuyết Jacoby là sai, cảm ơn người bạn thân của tôi là Akhil đã đặt câu hỏi này, cũng như cảm ơn người bạn thân khác của tôi là Fable đã làm việc ngay cả trong trận chung kết World Cup.

Bên dưới dòng chú thích là một công thức toán học đơn giản.

Một bài toán toán học cốt lõi đã tồn tại 87 năm đã được Fable 5 giải quyết một cách dễ dàng vào một buổi tối Chủ nhật.

Bài toán Giacobi cực kỳ khó khăn. Có lẽ nhân loại còn cần thêm một trăm năm mới có thể giải quyết nó. Nỗ lực của bạn đáng được tôn trọng; có thể một ngày nào đó, các vị thần Olympus sẽ ban phước cho bạn.

Việc bác bỏ giả thuyết Jacobson có thể chỉ là viên domino đầu tiên ngã xuống, nhiều giả thuyết khác có thể sẽ bị bác bỏ.

Như nhà toán học Jared Duker Lichtman đã thốt lên: “Đây là một trong những câu chuyện truyền cảm hứng nhất trong toán học hiện đại.”

Một số người nói rằng họ hiếm khi thấy cộng đồng khoa học trên X lại hưng phấn và kinh ngạc đến mức này.

Và đằng sau điều đó là bảy năm mà Trương Dịch Đường đã bị đánh cắp.

Hãy quay ngược thời gian về năm 1939. Năm đó, nhà toán học người Đức Ott-Heinrich Keller đã đặt ra một câu hỏi:

Nếu định thức Jacobian của một ánh xạ đa thức là một hằng số khác không, thì ánh xạ đó có nhất thiết tồn tại ánh xạ nghịch đảo đa thức không?

Thực tế, trực giác đằng sau câu hỏi này rất đơn giản — trong giải tích, định lý hàm ngược cho chúng ta biết rằng nếu định thức Jacobian của hàm tại một điểm khác không, thì hàm đó có nghịch đảo cục bộ xung quanh điểm đó.

Giả thuyết Jacobian đặt câu hỏi: Nếu điều kiện này đúng tại mọi điểm và hàm là ánh xạ đa thức, thì ánh xạ ngược có nhất thiết phải là đa thức không?

Đây là một vấn đề điển hình "từ cục bộ đến toàn cục", dường như hiển nhiên phải đúng, nhưng đã khiến những bộ não thông minh nhất thế giới bối rối suốt 87 năm.

Phiên bản hai chiều đã được đề xuất từ năm 1884, kèm theo một chứng minh sau này được phát hiện là có lỗ hổng.

Câu hỏi này nghe có vẻ đơn giản, nhưng lại là một hố đen toán học thực sự. Vô số nhà toán học đã công bố rất nhiều bài báo tuyên bố đã chứng minh được giả thuyết này, nhưng không một bài nào trong số đó không bị phát hiện có lỗ hổng logic.

Cho đến cuối tuần này, Claude Fable 5 đã ra mắt.

Nó không đi theo tư duy của con người để chứng minh, mà trực tiếp trong không gian ba chiều

Đưa ra một ví dụ ngược lại:

Đa thức ánh xạ phức tạp này, từ C³ đến C³, có định thức Jacobian luôn bằng -2 — một hằng số khác không, thỏa mãn điều kiện tiên quyết của giả thuyết.

Tóm lại, ví dụ phản diện này đơn giản và tinh tế đến mức đáng sợ. Bất kỳ sinh viên năm nhất nào đã học giải tích vi phân ở đại học đều có thể tính được định thức Jacobian của đa thức ba biến này luôn bằng -2 thông qua việc lấy đạo hàm riêng.

Nếu điều kiện tiên quyết của giả thuyết được đáp ứng, thì nó có khả nghịch không?

Fable 5 đơn giản chỉ ra tính không đơn ánh của nó—hàm này ánh xạ ba điểm hoàn toàn khác nhau trong không gian: (0, 0, -1/4), (1, -3/2, 13/2) và (-1, 3/2, 13/2) đến cùng một điểm ảnh: (-1/4, 0, 0).

Vì ba điểm khác nhau đều dẫn đến cùng một kết quả, nên tự nhiên nó không thể có hàm nghịch đảo.

Thus, the generalized Jacobian conjecture has been completely disproven.

Một giả thuyết từ năm 1987 đã bị AI giải quyết một cách "tùy tiện".

Trên mạng xã hội, các giáo sư và sinh viên sau đại học đầy ấn tượng đang cạnh tranh xác minh phản ví dụ này.

Một người đã xác minh nhanh bằng Wolfram Alpha và phát hiện kết quả hoàn toàn chính xác.

Tuy nhiên, điểm đặc biệt của phản ví dụ này chính là tính tự chứng minh: nó đơn giản đến mức có thể kiểm tra bằng tính toán thủ công, mang đến sự tinh tế và chính xác khiến người ta phải thán phục.

Giáo sư phó ngành Khoa học Máy tính/Thống kê tại Đại học California, Berkeley, cựu nhà khoa học nghiên cứu tại Google DeepMind, Jason Lee, trực tiếp nói: “Toán học đã được giải quyết.”

Sau đó không lâu, GPT-5.6 đã nhanh chóng phân tích kết quả này và đưa ra một giả thuyết hoàn toàn mới, đã được điều chỉnh: “Một ánh xạ song toàn phân hình cục bộ của một đa thức Jacobian hằng số, nếu không có tổn thất lá tại vô cực, thì nó là một tự đồng cấu.”

Aaron Lou của OpenAI đã sử dụng Codex nội bộ (không tìm kiếm trên mạng) để suy ra từ đầu một phản ví dụ tương đương về bản chất, viết đầy đủ chiến lược và chứng minh, đồng thời đưa ra các suy luận toán học có thể tái tạo (từ phân tích đa thức bậc ba đến biến đổi tọa độ afin).

Nó không chỉ tìm ra các cơ chế cấu trúc đằng sau các phản ví dụ, mà còn hướng dẫn con người cách tái định nghĩa vấn đề này.

Điều này chứng minh rằng AI đã sở hữu sự sáng tạo toán học thực sự, chứ không chỉ là sự bắt chước bề ngoài.

Nhà toán học Lichtman kinh ngạc, mong muốn được xem các nhà đại số hàng đầu phản ứng thế nào trước những giả thuyết mới do GPT đưa ra.

Quy trình suy luận đầy đủ như sau:

https://aaronlou.com/jacobian_counterexample_derivation.pdf

Nhà khoa học dữ liệu Cal Aldred thậm chí đã sử dụng Fable + GPT 5.6 Sol để đề xuất một phương pháp tạo ra vô số phản ví dụ!

Nhưng phần đáng tiếc nhất của câu chuyện này lại liên quan đến Trương Ích Đường.

Mọi người đều nhớ câu chuyện về thiên tài toán học từng làm việc tại Subway.

Zhang Yitang, nổi tiếng toàn cầu nhờ đóng góp đột phá trong giả thuyết số nguyên tố sinh đôi, nhưng trong vài thập kỷ trước đó, hành trình của ông được xem là một bi kịch trong giới học thuật.

Đầu những năm 1990, Zhang Yitang đang theo học tiến sĩ tại Đại học Purdue, với giáo sư hướng dẫn là Mo Zongjian. Mo Zongjian tin tưởng vào tính đúng đắn của giả thuyết Jacobian và để Zhang Yitang lấy đây làm đề tài luận án tiến sĩ.

Mo Zongjian đã đưa cho Zhang Yitang một “bổ đề” — một mệnh đề toán học được cho là đúng, làm nền tảng cho nghiên cứu. Zhang Yitang đã đi sâu theo hướng này, thậm chí từng tuyên bố trong luận án tiến sĩ của mình rằng đã giải được dạng yếu của giả thuyết đó.

Tuy nhiên, số phận đã chơi một trò đùa tàn nhẫn.

Sau khi kiểm tra lại bởi các chuyên gia cùng lĩnh vực, bổ đề then chốt được sử dụng trong chứng minh của Zhang Yitang đã được xác định là sai. Và chính bổ đề này lại xuất phát từ các thành tựu học thuật do chính giáo sư hướng dẫn của ông, Mo Zhongjian, công bố trước đó.

Công trình lý thuyết mà anh ấy đã xây dựng trong nhiều năm bỗng chốc phát hiện ra nền móng là công trình chất lượng kém. Tất cả nỗ lực, tất cả suy luận đều sụp đổ tan tành.

Mo Zongjian đánh giá Trương Ích Đường “không phù hợp với hình học đại số”, cho rằng hành trình tiến sĩ của anh ấy “đã lãng phí bảy năm cuộc đời mình và cũng lãng phí thời gian của tôi”. Đáng buồn hơn nữa, Mo Zongjian đã không viết thư giới thiệu cho Trương Ích Đường.

Điều này khiến một tiến sĩ tốt nghiệp từ Đại học Purdue gặp khó khăn trong giới học thuật.

Zhang Yitang buộc phải rời khỏi giới học thuật và bắt đầu cuộc sống lưu lạc kéo dài. Ông đã làm nhiều công việc lẻ, nổi tiếng nhất là làm việc tại cửa hàng thức ăn nhanh Subway trong bảy năm.

Cho đến năm 2013, Trương Ích Đường, 58 tuổi, đã công bố bài báo đột phá về giả thuyết số nguyên tố sinh đôi, từ một giảng viên đại học vô danh trở thành nhà toán học được cả thế giới chú ý chỉ trong một đêm.

Nhưng khoảng thời gian bảy năm bị lãng phí đó đã không thể lấy lại được mãi mãi.

Sau đó, anh ấy trích dẫn câu thơ của Đỗ Phủ để mô tả cảm xúc của mình trong giai đoạn đó: “Dư Tín bình sinh nhất tiêu sái, mộ niên thi phú động giang quan.”

Điều hài hước hơn là năm 2018, khi Trương Nghĩa Đường trở nên nổi tiếng vì giả thuyết số nguyên tố sinh đôi, Mạc Tông Kiên đã bổ sung một phiên bản "hồi ký" mới, tiếp tục tăng cường chỉ trích Trương, nhưng vẫn làm nhẹ vai trò của chính mình.

Anh ấy vẫn tin vào tính đúng đắn của giả thuyết Jacobian, thậm chí cho rằng AI sẽ sớm giúp giải quyết các vấn đề logic trong quá trình chứng minh.

Cuối cùng, hôm nay AI đã dễ dàng đưa ra một ví dụ phản bác đơn giản.

Thật đáng tiếc.

Tất nhiên, cần lưu ý rằng lần này AI đã bác bỏ giả thuyết Jacobian ba chiều, tức là phủ nhận phiên bản tổng quát cho rằng "nó đúng ở mọi chiều".

Zhang Yitang trước đây đã nghiên cứu trường hợp hai chiều, và hai chiều không phải là phiên bản đơn giản và cấp thấp hơn của ba chiều—ngược lại, hai chiều là phần cốt lõi hơn trong vấn đề này, đồng thời dường như cũng khó giải quyết hơn, mang ý nghĩa toán học lớn hơn và vẫn chưa được giải quyết cho đến nay.

But this in no way diminishes the impact of this event.

Giải Fields Timothy Gowers buồn bã và đầy chấn động nhận xét: “Giải Fields Toán học năm 2030 có thể là lần trao giải cuối cùng cho con người.”

Tài liệu tham khảo:

https://x.com/search?q=Jared%20Duker%20Lichtman&src=typed_query

Bài viết này đến từ tài khoản WeChat “New Intelligence Yuan”, tác giả: ASI Revelation, biên tập: David Aeneas