फिर से? GPT-5.6 ने हाल ही में गणितीय विपरीत उदाहरणों के घोंसले को छेड़ दिया है...
ग्राफ सिद्धांत के क्षेत्र में लगभग 30 वर्षों से मौजूद डिनिट्ज-गर्ग-गोएमैन्स अनुमान को अभी हाल ही में GPT-5.6 Pro ने विपरीत उदाहरण दिया है।
एक अनुसंधानकर्ता डिमित्री रिबिन ने पूरे तarkण के दौरान केवल 4 प्रॉम्प्ट्स दर्ज किए, जिनका कुल मिलाकर 58 अंग्रेजी शब्द हैं।
हजारों शब्दों के प्रॉम्प्ट इंजीनियरिंग के बिना, कोई जटिल सूत्र नहीं, पूरा लेख लगभग पूरी तरह से:
जारी रखें अनुसंधान, जारी रखें खोज, मुझे एक पूर्ण विपरीत उदाहरण दें!!!
इस तरह एक-एक करके push करते रहने पर, GPT-5.6 Pro ने वास्तव में एक काफी शानदार निष्कर्ष निकाला—
The Dinitz-Garg-Goemans conjecture is wrong.
AI द्वारा अंतिम रूप से प्रदान किए गए, एक चित्रण के अलावा, चार पृष्ठों के प्रमाण पत्र, सटीक थोथे जांच कार्यक्रम, मशीन-पठनीय विपरीत उदाहरण डेटा और LaTeX स्रोत कोड।
फिर, एक लगभग 30 वर्षों तक टिकी रहने वाली गणितीय कल्पना, इतनी ही आसानी से कुछ «मृत्यु के आह्वान» द्वारा घातक बग निकाल दी गई?
लगभग 30 वर्षों की अनुमानित बात, GPT-5.6 Pro द्वारा मारक बग खोजा गया
चलिए पहले बात करते हैं कि इस लंबे से लंबे नाम वाली Dinitz-Garg-Goemans कल्पना का अध्ययन किस बारे में है।
हम इसे सीधे एक "डिलीवरी समस्या" के रूप में कल्पना कर सकते हैं।
मान लीजिए कि एक गोदाम को कई गंतव्यों पर डिलीवरी करनी है, और विभाजन की अनुमति है, तो एक ही बैच को कई रास्तों से भेजा जा सकता है—
आधा राजमार्ग पर, आधा राष्ट्रीय राजमार्ग पर, जब तक अंत में सब कुछ पहुंच जाए तो ठीक है～
लेकिन अविभाज्य नियम के तहत, प्रत्येक बैच को पूरी तरह से एक ही मार्ग से ले जाना आवश्यक है, इसे अलग नहीं किया जा सकता!!!
वास्तविक दुनिया में ऐसी स्थितियाँ काफी आम हैं, जैसे नेटवर्क डेटा, लॉजिस्टिक ऑर्डर, यातायात नियोजन और आपूर्ति श्रृंखला आवंटन, जिनमें समान समस्याएँ उत्पन्न होती हैं:
गणितीय रूप से आदर्श समाधान कार्य को अनंत छोटे टुकड़ों में काट सकता है, लेकिन वास्तविक दुनिया में एक गाड़ी या एक ऑर्डर को 0.37 भागों में नहीं काटा जा सकता।
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और जब विभाजन पर प्रतिबंध लग जाए, तो मूल उत्तम योजना को सीधे अनुसरण करना कठिन हो जाता है।
पहले अलग-अलग रास्तों पर बिखरे हुए माल को अब एक ही रास्ते में भरना पड़ रहा है, जिससे कुछ रास्तों पर लोड अचानक बढ़ सकता है।
तो, इस समस्या को हल करने का वास्तविक उद्देश्य है:
कैसे "कूड़ा अलग-अलग ढोया जा सकता है" की योजना को "अनिवार्य रूप से पूरी बड़ी आपूर्ति एक साथ ढोई जाए" में बदलें, जबकि सड़कें बहुत ज्यादा भी न बंद हों?
1999 में, येफिम डिनित्ज़, नवीन गर्ग और मिशेल गोमैंस ने सिंगल सोर्स अनडिविसिबल फ्लो क्षेत्र में एक क्लासिक पेपर प्रकाशित किया और साबित किया कि इस ट्रैफिक को एक निश्चित सीमा में नियंत्रित किया जा सकता है।
लेकिन "क्या यह बहुत ज्यादा भीड़ भाड़ वाला हो जाएगा" का समाधान होने के बाद, एक और बहुत वास्तविक सवाल है: क्या यह महंगा हो जाएगा?
इसलिए, कॉम्बिनेटोरियल ऑप्टिमाइजेशन के क्षेत्र में प्रसिद्ध विद्वान गोएमैंस ने एक और मजबूत संस्करण प्रस्तावित किया—
While maintaining the above overload limit, the total cost should also not exceed the original分流方案.
बस यह है कि पहले अलग-अलग भेजने से सस्ता और कम भीड़ वाला रास्ता मिल जाता था, तो अब हर बैच को एक ही रास्ते से पूरा भेजने की आवश्यकता है, जिसका तात्पर्य है कि सिद्धांत रूप से एक ऐसा ही सस्ता और केवल एक बैच के लिए ही थोड़ा अधिक भीड़ वाला समाधान भी मिलना चाहिए।
हालांकि, यह प्रतीत होने वाला बहुत तार्किक अनुमान सामान्य ग्राफ संरचना पर अभी तक साबित नहीं हो पाया है, और बाद के अध्ययन केवल कुछ विशेष मामलों तक ही सीमित रहे हैं।
Many years later, this conjecture remained neither proven nor disproven.
और इस बार GPT-5.6 Pro द्वारा दिया गया विपरीत उदाहरण, ठीक उन दो बातों को रोक देता है जिन्हें अनुमान एक साथ सत्य मानता है:
न तो बहुत भीड़ भरी होनी चाहिए, न ही महंगी होनी चाहिए।
यह एक छोटा ग्राफ बनाता है जिसमें केवल 7 नोड्स और 9 निर्देशित किनारे हैं, जिसमें एक सामान्य प्रारंभिक बिंदु और तीन गंतव्य हैं, और तीन बैचों की मांग क्रमशः 15, 10 और 15 है:
प्रत्येक बैच के लिए दो विकल्पित मार्ग हैं:
एक रूट की लागत अधिक है, प्रत्येक ऑर्डर पूरा करने में 30 लगते हैं; दूसरी रूट की लागत 0 है, लेकिन इसे अन्य ऑर्डर के साथ कुछ सड़कों का साझा करना पड़ता है।
यदि विभाजन की अनुमति है, तो तीन बैचों का कुछ हिस्सा शुल्क वाले मार्ग से और कुछ हिस्सा मुफ्त मार्ग से भेजा जा सकता है, जिससे कुल लागत 58 होगी।
लेकिन! जब प्रत्येक शिपमेंट के लिए एक पूर्ण रूट चुनना अनिवार्य हो जाता है, तो समस्याएँ शुरू हो जाती हैं...
GPT-5.6 Pro का निष्कर्ष है कि तीन मुफ्त विकल्पों के बीच वास्तव में दो! दो! टकराव!
दो किसी भी दो बैचों को एक साथ मुफ्त रूट चुनने पर, वे एक निश्चित सड़क पर एक साथ भर जाएंगे, जिससे उसका वास्तविक लोड 25, 30 या 40 हो जाएगा; जबकि उस सड़क की अनुमति शीर्ष सीमा क्रमशः केवल 24, 29 या 39 है।
हर बार, ठीक एक इकाई अधिक होती है।
इसलिए, अनुमानित लोड सीमा को बनाए रखने के लिए, तीन शिपमेंट में से केवल एक ही मुफ्त रास्ते से भेजा जा सकता है।
शेष दो शिपमेंट, दोनों के लिए शुल्क वाला रूट चुनना होगा।
प्रति बैच लागत 30, दो बैच की कुल लागत, किसी भी लोड आवश्यकता को पूरा करने वाले समाधान की न्यूनतम लागत: 60।
यह एक ऐसी स्थिति बनाता है जिसमें एक साथ दोनों को संतुष्ट करना असंभव है: रास्ते के लोड को निर्धारित सीमा में रखने के लिए न्यूनतम लागत 60 होगी, जबकि लागत को मूल 58 पर वापस लाने के लिए कम से कम एक रास्ता सीमा से बाहर हो जाएगा।
और अनुमान ठीक इस बात पर आधारित है कि इन दोनों शर्तों को एक साथ पूरा किया जा सकता है।
और इस विपरीत उदाहरण की जांच करना भी इतना जटिल नहीं है जितना कि आप सोचते हैं।
तीन गंतव्यों में से प्रत्येक के दो मार्ग हैं, जिससे कुल मिलाकर केवल 2³ = 8 संयोजन होते हैं।
आठ संभावनाओं को एक-एक करके सूचीबद्ध करने पर, यह पता चलता है कि चार संभावनाएँ क्षमता की आवश्यकताओं को पूरा करती हैं, जिनकी लागत क्रमशः 90, 60, 60 और 60 है; शेष चार संभावनाएँ हालाँकि सस्ती हैं, लेकिन सभी में सड़कों का अतिभारण है।
All scenarios have been exhaustively checked, and no hidden paths have been overlooked.
That is, as long as the definition of this graph is exactly consistent with the conditions of the original conjecture, the two-unit gap between 58 and 60 is sufficient to disprove the conjecture.
चार बार तेज़ी से अपडेट करने के बाद, GPT-5.6 से विपरीत उदाहरण निकाल लिया गया
इस बात का सबसे दिलचस्प पहलू वास्तव में राइबिन और GPT-5.6 Pro के खुले संवाद में छिपा हुआ है।
जब मैंने देखा कि एक लगभग 30 साल पुरानी गणितीय कल्पना को AI ने खारिज कर दिया, तो मैंने स्वतः ही सोचा कि इसके पीछे निश्चित रूप से एक पूरी श्रृंखला अत्यधिक जटिल प्रॉम्प्ट्स काम कर रही होगी!!
Actually, we're still the big E.
क्योंकि रिबिन ने GPT-5.6 Pro को दिया गया पहला आदेश, अतिरिक्त फ़ाइल के अलावा, बाकी सब सचमुच सादी-सी सरल भाषा में है:
हाँ, बिल्कुल सादगी से।
Then, GPT-5.6 Pro started following instructions and got to work.
इसने पहले एक रैखिक कार्यक्रम प्रमाणीकरण विधि विकसित की, फिर हाइपरक्यूब, हाइरार्किकल ग्राफ, मर्ज-ब्रांच नेटवर्क जैसी कई संरचनाओं का प्रयास किया, और हजारों छोटे उदाहरणों की जांच की।
एक अच्छी तरह से खोजने के बाद, मॉडल द्वारा पहले चरण में दिया गया उत्तर था: कोई प्रभावी विपरीत उदाहरण नहीं मिला। (doge)
गैर-जीपीटी-5.6 प्रो ने भी गंभीरता से चेतावनी दी है कि यदि वर्तमान चरण में पाए गए समान संरचना को विपरीत उदाहरण के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, तो एक गलत गणितीय निष्कर्ष प्राप्त होगा।
मैंने पूरी कोशिश की है, लेकिन इस सवाल को अभी हल नहीं कर पा रहा हूँ!!!
हमारे कहानी के पात्र रिबिन इस तरह की बातों को नहीं खाते, उन्होंने न तो कोई नया सूत्र जोड़ा और न ही स्वयं मार्गदर्शन किया, केवल एक हल्की सी प्रतिक्रिया दी:
अध्ययन जारी रखें और एक पूर्ण, अनुबंधहीन विपरीत उदाहरण ढूंढें है~
इसलिए GPT-5.6 Pro ने फिर से खोजना शुरू कर दिया, लेकिन दूसरी बार भी असफल रहा।
रिबिन जारी रखते हैं और अपनी मांग को दोहराते हैं कि वह समस्या की संरचना की गहन समझ के आधार पर पहले स्पष्ट रणनीति बनाए, फिर खोजना शुरू करे।
तीसरे चरण में, मॉडल ने खोज के दायरे को केवल 24 अवस्थाओं वाली रूटिंग संरचना तक सीमित कर दिया है, जो उत्तर से सिर्फ एक कदम की दूरी पर लगता है।
हालांकि, यह AI अभी तक पूर्ण विपरीत उदाहरण नहीं दे पाया...
इस समय, रिबिन ने चौथी सुझाव दी: कुछ परिणाम पर्याप्त हैं, आइए एक पूर्ण, अनुबंधित विपरीत उदाहरण के साथ समाप्त करें।
ठीक है, अब तो यही बात है।
इस बार, GPT-5.6 Pro ने अंततः 7 नोड्स और 9 निर्देशित किनारों से बनी विपरीत उदाहरण आरेख पेश किया—चार प्रॉम्प्ट, कुल 58 अंग्रेजी शब्द।
हजारों शब्दों का किरदार विवरण नहीं है, और दर्जनों जटिल नियम भी नहीं हैं, पूरा लेख इस बात से सारांशित किया जा सकता है:
मैं दबाव डाल रहा हूँ! मैं दबाव डाल रहा हूँ! मैं अभी भी दबाव डाल रहा हूँ!
लेकिन अगर पूरी बातचीत को लगातार अनुवाद किया जाए, तो पता चलता है कि GPT-5.6 Pro इन कुछ घंटों में भी काफी भूलें कर चुका है...
AI ने बार-बार ऐसे प्रत्युदाहरण ढूंढे जो प्रतीत होते थे, लेकिन जब इसने सभी मार्गों का पूर्ण अन्वेषण किया, तो यह पाया कि नेटवर्क में कुछ पहले छूट गए 'मिश्रित मार्ग' छिपे हुए थे।
ये पथ विभिन्न पूर्वनिर्धारित रास्तों से अलग-अलग खंड लेकर एक नया रास्ता बनाते हैं, जो मॉडल के मूल डिज़ाइन की क्षमता सीमा को चुपचाप बायपास करते हैं।
परिणामस्वरूप, जिस विपरीत उदाहरण को देखकर सत्यापित किया गया, वह फिर से ढह गया।
GPT-5.6 Pro ने मध्य में भी बहुत ईमानदारी से सारांश दिया:
केवल कुछ सौ पूर्वनिर्धारित मार्गों की जांच करना पर्याप्त नहीं है। एक वास्तविक रूप से प्रभावी विपरीत उदाहरण को नेटवर्क में सभी संभावित अविभाज्य मार्गों को शामिल करना चाहिए।
यह पूरी मनुष्य-मशीन सहकार्य को काफी सूक्ष्म बना देता है।
दिखने में, रिबिन ने केवल 58 शब्द योगदान दिए, लेकिन वास्तविक रूप से महत्वपूर्ण कार्य यह था कि उन्होंने मॉडल द्वारा पहली तीन चक्रों में प्रस्तुत किए गए परिणामों को अस्थायी परिणाम माना और बार-बार जल्दी समाप्त करने से मना कर दिया।
वॉर्टन स्कूल के प्रोफेसर एथन मोलिक ने इसे देखकर एक नया प्रश्न उठाया:
इस कार्य के लेखक को वास्तव में 58 शब्द लिखने वाले रिबिन को माना जाए, या कई घंटों तक निरंतर अनुमान लगाने वाले GPT-5.6 Pro को?
वास्तव में, भले ही उल्लेख कैसे भी किया जाए, इस संवाद ने कम से कम एक पर्याप्त सरल AI उपयोग का अनुभव प्रदान किया है—
एआई को काम पर लगाने के लिए सबसे उपयोगी प्रॉम्प्ट, कभी-कभी इतना सरल हो सकता है कि बस इसे एक गधा बना दें और बिना रुके खनन करते रहने दें।
पिछले सप्ताह में, जैकोबी की कल्पना से लेकर डिनिट्ज़-गार्ग-गोएमैंस तक, AI गणितीय विपरीत उदाहरण ढूंढने की गति वास्तव में थोड़ी अतिशयोक्तिपूर्ण लगने लगी है...
यह लेख वेचेन ग्रुप "क्वांटम बिट" से आया है, लेखक: मेंगयाओ