30 अगस्त, 2026 को, प्रायिकता सिद्धांत के महान विद्वान, 2022 के फील्ड्स पुरस्कार विजेता ह्यूगो डुमिनिल-कोपिन ने हल्के उदास होकर लिखा:
हमारे क्षेत्र में सबसे प्रसिद्ध अनुमान को डोज़र (AI) की गर्जना के नीचे गिराना केवल एक समय का मुद्दा है।
वह गणितीय समुदाय के आधे शताब्दी से अधिक के प्रायिकता सिद्धांत के "पवित्र ग्रल" के बारे में बात कर रहा है—प्रवाह सिद्धांत में सतत चरण संक्रमण का अनुमान (
अनुमान)।
For this problem, this Fields Medalist devoted years of effort, persisting through repeated failures.
लेकिन सबके अनुमान से परे यह था कि वास्तविकता का नाटक, भविष्यवाणी से भी अधिक जादुई था।
उसके लेख जारी होने के ठीक बाद, सहकर्मी गिटहब पर एंथ्रोपिक इंजीनियर्स द्वारा हाल ही में सबमिट किए गए कोड रिपॉजिटरी को खोजने लगे।
कोई प्रेस कॉन्फ्रेंस नहीं, कोई विशाल ऑनलाइन प्रचार नहीं, यहां तक कि आधिकारिक ब्लॉग पर भी कोई पोस्ट नहीं।
उसमें लेटा हुआ, एक पूर्ण कोड है जिसे बड़े भाषा मॉडल Claude ने स्वयं उत्पन्न किया है और गणितीय फॉर्मलाइजेशन भाषा Lean द्वारा कठोरता से सत्यापित किया गया है—वह फील्ड्स पुरस्कार विजेता के कई वर्षों से असफल रहे अभिगमन कल्पना, AI द्वारा सिद्ध कर दी गई है।
खबर फैलते ही, वैश्विक गणितीय समुदाय तुरंत हलचल में आ गया।
जर्मनी के ब्राउनश्वाइग टेक्नोलॉजी यूनिवर्सिटी के गणितज्ञ बेनेडिक्ट जाहनेल ने साक्षात्कार में सीधे कहा:
अगर कोई मानव इस अनुमान को सिद्ध करता है, तो वह बहुत संभावना है कि फील्ड्स पुरस्कार जीत लेगा। लेकिन अब, AI ने फिनिश लाइन पार कर ली है।
AI ने मशीन प्रमाण को मेज पर रख दिया है।
गिल कलाई ने सीधे कहा: "अगर यह सत्यापित हो जाता है, तो यह एक असाधारण क्रांति होगी।"
लगभग 70 वर्षों से मानवता को परेशान कर रहा «प्रायिकता सिद्धांत का पवित्र ग्रल» क्या है?
Percolation theory में सतत फेज़ ट्रांजिशन की कल्पना, प्रायिकता सिद्धांत का "पवित्र ग्राल" कहलाती है।
1957 में, गणितज्ञ साइमन ब्रॉडबेंट और जॉन हैमर्सले एक अत्यंत व्यावहारिक, लेकिन अत्यंत गहन भौतिकीय घटना के बारे में सोच रहे थे: तरल पदार्थ एक छिद्रित स्पंज से कैसे गुजरता है?
आप इसे कॉफी बनाने या तेल के भूपर्पटी के दरारों में फैलने की कल्पना कर सकते हैं:
मान लीजिए एक विशाल अंतरिक्ष जाल है, जिसके प्रत्येक प्रतिच्छेदन बिंदुओं के बीच सूक्ष्म पाइप जुड़े हुए हैं। प्रत्येक पाइप के चलने की संभावना p है और बंद होने की संभावना 1-p है।
अगर p बहुत छोटा है, जैसे केवल 0.1, तो पाइप का अधिकांश हिस्सा अवरुद्ध हो जाता है, और जल की बूंदें कुछ ही दूरी तक घुसकर रुक जाती हैं और कभी भी पूरे स्पंज को पार नहीं कर पातीं; अगर p बहुत बड़ा है, जैसे 0.9 तक पहुंच जाता है, तो पाइप सभी दिशाओं में खुले होते हैं, और जल प्रवाह अविरल रूप से आगे बढ़ता है और अनंत विस्तार वाले नेटवर्क में एक संयुक्त समुद्र बना देता है।
गणितीय रूप से, "स्थानीय बूंद" से "अनंत रूप से जुड़ा हुआ नेटवर्क" में जाने की जादुई सीमा को संक्रमण प्रायिकता कहा जाता है।
यह एक चरण परिवर्तन है, जैसे कि मानक वायुमंडलीय दबाव पर पानी 0 डिग्री सेल्सियस तक ठंडा होने पर बर्फ में बदल जाता है।
क्रिटिकल पॉइंट के नीचे, अनंत रूप से संयुक्त जल प्रवाह की प्रायिकता
यह निरपेक्ष 0 है; सीमांत बिंदु के ऊपर,
तो 0 से अधिक है।
तो, एक ऐसा «शताब्दी का प्रश्न» उत्पन्न हुआ जिसे सभी प्रायिकता विद्वान अपने सपनों में देखते हैं:
क्या ठीक उस क्षण, जब यह सीमा बिंदु के बराबर होता है, सिस्टम के अंदर एक अनंत आकार का संयुक्त नेटवर्क बन सकता है? दूसरे शब्दों में,
क्या यह वास्तव में 0 के बराबर है?
अगर
=0 का अर्थ है कि यह फेज़ ट्रांसिशन अत्यंत चिकना और निरंतर है, जैसे सुबह का कोहरा धीरे-धीरे बारिश में बदल जाता है; यदि यह 0 से अधिक है, तो इसका अर्थ है कि प्रणाली सीमांत बिंदु पर तुरंत अचानक परिवर्तित हो जाएगी और ब्रह्मांड को जोड़ने वाला एक अनंत जलप्रवाह अचानक प्रकट हो जाएगा।
यह सरल प्रतीत होने वाला अनुमान, प्रायिकता सिद्धांत में 'सेंट ग्रेल' है—
=0 अनुमान।
इस पहेली को हल करने के लिए, आधे शताब्दी तक गणितज्ञों ने लगातार प्रयास किए।
1980 में, गणितज्ञ हैरी केस्टन ने साबित किया कि द्विआयामी वर्ग जाल में संक्रमण प्रायिकता ठीक 1/2 है, और
=0।
यह सीधे रूप से उसे गणित के इतिहास में एक महान आचार्य का स्थान देता है।
अत्यधिक आयामों (11 या उससे अधिक) में, प्रत्येक नोड के पास असंख्य पड़ोसी होते हैं, और गणितज्ञ सांख्यिकीय औसत और "मीन-फील्ड सिद्धांत" जैसे उपकरणों का उपयोग करके समस्या को जबरन सरल बना सकते हैं।
कई वर्षों पहले ही विद्वानों ने साबित कर दिया था कि 11 आयाम और उससे अधिक के स्थान में, चरण परिवर्तन भी निरंतर होते हैं।
हालाँकि, वास्तविक भयानक सपना बीच में रह गया—3 आयामी से 10 आयामी तक का स्पेस ग्रिड।
यहाँ द्वि-आयामी समतल की कोई विशिष्ट ज्यामितीय सममिति नहीं है, और उच्च आयामी सांख्यिकीय स्मूथिंग उपकरणों का भी उपयोग नहीं किया जा सकता है; आयामों के बीच का टोपोलॉजिकल उलझन अत्यंत जटिल और अनियमित है।
तीन आयाम हमारे जीवन की वास्तविक ब्रह्मांड हैं, चार आयाम सापेक्षता के समय-अंतराल हैं, और ये सबसे मूलभूत आयाम, मानव गणितज्ञों के लिए दशकों से अपारगम्य 'शोक की दीवार' बन गए हैं।
कई दशकों तक, असंख्य शीर्ष विद्वानों ने अपनी युवावस्था व्यतीत की, और अंततः केवल खाके के कागज पर एक आह के रूप में छोड़ दिया।
कवितात्मक भटकने वाला, निर्दयी बुलडोजर से मिलता है
फील्ड्स पुरस्कार विजेता ह्यूगो डुमिनिल-कोपिन, ये सभी 'दीवारों से टकराने वालों' में सबसे प्रसिद्ध हैं।
2022 में, ड्यूमिनिल-कोपिन ने सांख्यिकीय भौतिकी के चरण संक्रमण के क्षेत्र में उनके क्रांतिकारी कार्य के लिए गणित के सर्वोच्च सम्मान, फील्ड्स पुरस्कार प्राप्त किया, और उनका शैक्षणिक करियर लगभग प्रवाह सिद्धांत के साथ जुड़ा हुआ था।
वह इस अनुमान से इतना प्यार करता है कि लगभग आकर्षित हो गया है।
8 अगस्त के ब्लॉग में, डुमिनिल-कोपिन ने अत्यंत सुंदर गद्य शैली में लिखा:
एक गणितीय समस्या केवल एक प्रमेय नहीं होती जिसे सिर्फ सिद्ध करने का इंतजार हो। यह न केवल अंधेरे में एक लाइटहाउस है, बल्कि एक आत्मा का गुरु भी है।
इसे हल करना शायद तुरंत एक नया गणितीय क्षेत्र नहीं खोलेगा, लेकिन इसकी गहराई और सुंदरता पर्याप्त है कि पीढ़ियों को इससे मोहित कर दे।
डुमिनिल-कोपिन ने भावुकता से बताया कि जब भी उन्होंने 3 से 10 आयामों में सतत फेज़ ट्रांजिशन की समस्या को हल करने की कोशिश की, वह असफल रहे, लेकिन लंबे संघर्ष और चढ़ाई के दौरान, वे ऐसे असफल रूपरेखाएँ, जो बर्बाद लगती थीं, उन्होंने दर्जनों अप्रत्याशित प्रेरणाएँ उत्पन्न कीं।
उसके बाद फील्ड्स पुरस्कार जीतने वाले कई कार्य, जो इस मुख्य कार्य की विफलता के बाद उत्पन्न हुए 'उपउत्पाद' थे।
मानव गणितज्ञों की पारंपरिक कथा में, प्रक्रिया परिणाम से अधिक पवित्र मानी जाती है। शिखर की ओर चढ़ाई के दौरान, अचानक जागृति होती है, निराशा का समय आता है, और दिन-रात खूबसूरती का संचय होता है। अज्ञात के साथ इस संघर्ष को मानवीय बुद्धि के सम्मान का उच्चतम प्रतीक माना जाता है।
हालांकि, एंथ्रोपिक के प्रवेश ने इस रोमांटिक फिल्टर को पूरी तरह से छीन लिया।
साबिती जमा करने वाले जस्टिन लेडर, गणित विभाग के महान विद्वान नहीं हैं, और न ही उनका रिसर्च अनुसंधान के क्षेत्र में कोई ज्ञात नाम है। उनका समर्थन Anthropic के अंदर अभी तक प्रकाशित नहीं हुए अग्रणी Claude मॉडल पर है।
एआई को भ्रम का अनुभव नहीं होता और न ही यह सौंदर्य का अर्थ समझता है।
70 सालों से मानवता को परेशान कर रही इस बाधा के सामने, AI एक बुलडोजर की तरह काम करता है, जो लगभग दम घुटने तक की सख्त प्रतीकात्मक तर論 और औपचारिक भाषा के साथ आगे बढ़ता है।
मीडिया के साक्षात्कार में गणितज्ञ बेनेडिक्ट जाहनेल ने स्वीकार किया:
इस परिणाम से मुझे अत्यंत जटिल भावनाएँ हो रही हैं।
एक ओर, अनुमान का अंततः सिद्ध होना उन्हें गहरी खुशी दे रहा था; लेकिन दूसरी ओर, एक विशाल निराशा और विफलता का भाव उनके मन में फैल रहा था, क्योंकि अंतिम प्रहार AI ने किया था।
आधुनिक युग के लिए लगभग आधे शताब्दी तक प्रतीक्षा की गई दरवाज़े को AI ने एक सामान्य चाबी से आसानी से खोल दिया।
AI वास्तव में कैसे ब्रेकथ्रू करता है? यह सिर्फ़ 'बल की गणना' नहीं है
बहुत से लोग अनजाने में सोचते हैं: क्या AI बस विशाल कैलकुलेशन पावर के आधार पर, बलपूर्वक सभी संभावनाओं का परीक्षण करके काम करता है?
उत्तर है: नहीं। केवल विस्तार से गणना करके, ब्रह्मांड के विनाश तक गिनने पर भी एक अनंत आयामी सततता की कल्पना सिद्ध नहीं हो सकती।
इस बार AI द्वारा प्रदर्शित की गई, एक लगभग भयावह उच्च-आयामी तर論 संकलन और बहु-क्षेत्रीय निष्कर्ष निकालने की क्षमता है।
इस बंद दरवाजे को खोलने में मानवशास्त्रियों द्वारा पूर्व में रखी गई अंतिम ईंट का योगदान अनिवार्य था।
2024 में, इज़राइल के वेइज़मैन विज्ञान संस्थान के गैडी कोज़मा और जॉर्जिया इंस्टीट्यूट ऑफ़ टेक्नोलॉजी के शाहफ निट्ज़न ने एक अत्यंत नवीन पत्र प्रकाशित किया।
लिंक: https://arxiv.org/abs/2401.12397
दो गणितज्ञों ने साबित किया कि यदि एक विशिष्ट, आपेक्षिक रूप से सरल बीजगणितीय असमानता को सिद्ध किया जा सकता है, तो 3 से 10 आयामों के
Guessing makes it automatically true!
यह पेपर शोध समुदाय को विजय की रोशनी दिखाता है।
फिनिश लाइन अब आँखों के सामने है, बस इस अंतिम कदम को उठाना बाकी है—उस शापित असमानता को सिद्ध करना।
हालांकि, यह अंतिम कदम एक अपार बाधा बन गया।
गणितज्ञों ने सहायक फलन बनाने और ऊपरी और निचली सीमाएँ ढूँढने का प्रयास किया, लेकिन यह असमानता एक फिसलने वाली बिल्ली की तरह थी, जो निष्कर्षण के महत्वपूर्ण बिंदुओं पर सदैव विचित्रता के साथ विघटित हो जाती थी।
एंथ्रोपिक के मॉडल, जहां यह मारक प्रहार किया गया।
यह नए ढांचे की रचना नहीं करता, बल्कि 2024 में गैडी कोज़मा और शहफ नित्सान द्वारा बनाए गए प्लेटफॉर्म को अत्यधिक सूक्ष्मता से पकड़ता है।
बड़े मॉडल ने लीन प्रमाण सहायक के कठोर प्रतिबंधों के तहत, मानव द्वारा ज्ञात अनेक विश्लेषणात्मक उपकरणों और असमानता कौशल का उपयोग किया, और एक ऐसी सूक्ष्म रचना के साथ, जिसे कोई मानव गणितज्ञ कभी कल्पना नहीं कर सका, और फॉर्मल कोड के निचले स्तर पर हजारों पंक्तियों का एक तर्क बंद चक्र बनाया, जिससे इस असमानता को अंततः 'दबा दिया गया'।
पेनसिल्वेनिया विश्वविद्यालय के गणितज्ञ अहमद बू-राबी ने घोषणा की कि एंथ्रोपिक ने इस फील्ड्स पुरस्कार स्तरीय अनुमान को साबित कर दिया है।
अहमद बू-राबी को बाद के विकास की गति और भी प्रभावित करती है।
अहमद बू-राबी ने बड़े मॉडल की सहायता से केवल एक दिन में एंथ्रोपिक के साबित कोड को सामान्यीकृत और संशोधित किया।
"AI ने मुझे ऐसा करने में सक्षम बना दिया जिसके बारे में मैं पहले सोच भी नहीं सकता था," अहमद बू-राबी का कहना है, "कुछ शोध परियोजनाओं पर मैंने पूरे आठ साल लगातार मेहनत की, लेकिन लगभग कोई प्रगति नहीं हुई, लेकिन AI की सहायता से, मैं अब पूरी तरह से हल करने से केवल एक कदम दूर हूँ।"
लेकिन इसी बीच, मूल लेखक प्रोफेसर कोज़मा बहुत संयमित या यहां तक कि ठंडे लग रहे हैं।
सभी के प्रश्नों के सामने, उन्होंने शांति से कहा:
I am not commenting on their claims for now.
हम अभी भी एंथ्रोपिक की ओर से एक "मनुष्य के द्वारा समझने योग्य संस्करण" का इंतजार कर रहे हैं, और वे वास्तव में यह कैसे करते हैं, इसकी व्याख्या का।
अंत और सुबह: जब मानवता सत्य का नेतृत्व नहीं करती
जब भाप इंजन का आविष्कार हुआ, तो ड्राइवरों ने माना कि ड्राइविंग की कला समाप्त हो गई; जब फोटोग्राफ का आविष्कार हुआ, तो रियलिस्ट पेंटर्स ने कला की मृत्यु की शिकायत की; जब डीप ब्लू ने कैस्परोव को हराया और अल्फा गो ने को जिए को पूरी तरह से हरा दिया, तो पूरी दुनिया ने वीएल के लिए रोया।
लेकिन कॉर्ड ने मर गया क्या? नहीं।
मानव खिलाड़ी हालांकि अब AI को हरा नहीं सकते, लेकिन AI के दृष्टिकोण से उन्होंने हजारों सालों से कल्पना भी नहीं की गई नई शुरुआती रणनीतियाँ देखीं, और बोर्ड के आयाम असीमित रूप से विस्तारित हो गए।
गणित भी इसी प्रकार है। जैसा कि ड्यूमिनिल-कोपिन ने अपने विचारों में साझा किया: प्रमेय का सबूत देना, गणित का सिर्फ एक हिस्सा है।
मानव गणित के इतिहास में, अनुमान का आकर्षण अक्सर 'परिणाम के साबित होने' में नहीं, बल्कि अनुमान को हल करते समय विकसित होने वाले पूरे उपकरण क्रांति में होता है—
फर्मा के अंतिम प्रमेय को साबित करने के लिए मानवता ने बीजीय ज्यामिति का विशाल चित्र बनाया; रीमैन अनुमान को साबित करने के प्रयास में विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत का महल खड़ा किया गया।
डुमिनिल-कोपिन ने वर्षों तक प्रवाह सिद्धांत पर काम किया, लेकिन जैसा कि उन्होंने कहा: "उन असफल प्रयासों ने दर्जनों नए विचारों को जन्म दिया, जिन्हें मैंने अन्य क्षेत्रों में उपयोग किया और जिनसे मुझे कई ऐसी बड़ी खोजें मिलीं जिनकी मैंने कल्पना भी नहीं की थी।"
भविष्य के गणितज्ञ, शायद, दशकों तक लंबी बीजगणितीय निष्कर्षणों पर अपनी मुख्य ऊर्जा व्यय करने की आवश्यकता नहीं होगी। सबसे मूल्यवान अन्वेषण मार्गों का चयन करना, हजारों तर्कसंगत एजेंटों को अज्ञात की ओर आगे बढ़ने के लिए निर्देशित करना, और मशीनों द्वारा लाए गए बुद्धिमत्ता के टुकड़ों को मानव दुनिया को समझाना, शायद नई पीढ़ी के विद्वानों का एक नया मिशन बन जाएगा।
अल्बर्ट आइंस्टीन ने कहा था:
मनुष्य द्वारा अनुभव की जा सकने वाली सबसे सुंदर और सबसे गहरी भावना, रहस्य की अनुभूति है। यह सभी वास्तविक कला और विज्ञान का स्रोत है।
1957 के स्पंज के पानी अवशोषित करने के साधारण अनुमान से लेकर 2026 तक GitHub पर AI द्वारा एक ही चाकू से निपटाया जाना, मानवता ने 70 वर्षों में अपनी महानता को साबित किया और बुद्धिमत्ता के रूप के हस्तांतरण को देखा।
संदर्भ:
https://www.quantamagazine.org/updates/transformation/
https://www.scientificamerican.com/article/ai-solves-a-holy-grail-problem-from-probability-theory/
https://proofsandprompts.com/2026/08/30/care-for-a-little-more-ai/
https://github.com/anthropics/formal-math/tree/795efb86f191735c5481675763537cfb4ff37e55/percolation
संपादक: डेविड
यह लेख वेचेन ग्रुप "न्यूज़ियाओ" (ID: AI_era) से आया है, लेखक: ASI उपदेश