AI tarafından oluşturulan özet: Florida Üniversitesi ekibi, yeni kanıtlanan üç boyutlu Kakeya varsayımını büyük modellerin eğitimi için uygulayarak, AI'nın “kara kutu” sorununu çözmek için GeoLAN yöntemini geliştirdi. Bu yöntem, Kakeya varsayımının kanıtından ortaya çıkan “yapışkan Kakeya kümeleri” kavramını kullanarak büyük modellerin semantik uzayına geometrik kısıtlar getirir ve kavramları eğitim aşamasında düzene sokar, böylece AI'nın düşünme yolunu izlenebilir hale getirir. Deneyler, Llama-3-8B, Gemma-3-4B gibi modellerde önemli performans artışı sağladı. Aynı zamanda, bu yılki Fields Ödülü kazanan Jacob Tsimerman, ödül gününde OpenAI'ye AI güvenliği için katıldığını duyurdu; bu da matematik ile AI'nın önceki hiç olmadığı kadar hızlı bir şekilde birleştiğini göstermektedir.

Yazan ve Kaynak: Leifengwang

Matematik dünyası ve Yapay Zeka dünyası güçlü bir şekilde birbirine bağlandı.

Dereceli matematiksel katı sonuçlar, doğrudan büyük model eğitimi hattına uygulanmıştır.

Bir Xiaohongshu yazarı olan Z9, makalelerini incelerken, tam olarak tüm ağlarda viral olan Three-Dimensional Kakeya Sanısı'nın, Florida Üniversitesi ekibi tarafından sinir ağı eğitimi sürecine entegre edildiğini ve büyük modellerin "kara kutu" sorununa çapraz disiplinli bir şekilde çözümler getirdiğini keşfetti.

Makaleleri, "GeoLAN: Büyük Dil Modellerinde Gizli Açıklayıcı Yönlerin Geometrik Öğrenimi" adını taşır ve temel amacı,挂谷 tahmininin kanıtından ortaya çıkan temel kavram olan "yapışkan挂谷 kümesini" kullanarak büyük modellerin dahili anlamsal uzayına bir "düzenleme kuralı" kurmaktır; bu sayede eğitim aşamasında birbirine dolanmış kavramlar düzene sokulur ve AI'nın düşünme yolları gerçekten izlenebilir hale gelir.

Matematik uzmanlarının öncülük ettiği yolda, yapay zeka araştırmacıları hazine buluyor.

Büyük modellerin temel sorunu: temsil çöküşü

Öncelikle herkesin yaşadığı “kara kutu sorunu” ile başlayalım.

Şu anki büyük modeller, soruları çözmek, kod yazmak ve analiz yapmak konusunda yüksek doğruluk oranına sahiptir, ancak “bu adım nasıl düşünüldü?” diye sorarsanız, ya açıklayamaz ya da sahte bir nedenle sizi kandırır.

Sorunun kökeni, temsil çökmesi adı verilen bir alt düzey özellikte gizlidir.

Büyük modelin semantik uzayını, teorik olarak mantık, duygular, gerçekler, çıkarımlar gibi sonsuz kavramları kategorilere ayırarak yerleştirebilecek binlerce katmanlı devasa bir akıllı depo olarak hayal edebilirsiniz.

Ancak Transformer eğitilirken özellikle "tembel" davranır, tüm anlamsal bilgileri her zaman bir depo girişindeki küçük bir alana toplar ve kalan %90 boş bırakır.

Sonuç olarak, tüm kavramlar dar bir yüksek boyutlu koni bölgesine sıkışıyor ve bu, akademik dünyada “anizotropi” olarak biliniyor.

Sıkışmanın sonuçları birçok soruna yol açar.

Örneğin, kavramsal karışıklık, birbirinden tamamen farklı içerikleri aynı yöne zorlar ve bir nöronun hem “kedi”ye hem de “İncil ayetlerine” tepki vermesini ister.

Ve hangi kısmın hangi mantık yolunu temsil ettiğini tamamen ayırt edemiyorsunuz, hatta model bile gerçek düşünme yolunu geri yükleyemiyor.

Yakın ama farklı kavramları bir araya getirmek kolayca karışıklığa yol açar, soru biraz değiştirildiğinde AI kolayca yanlış bilgi verir.

Bu konuda makalede oldukça doğru bir özet yer alıyor: az sayıda “saldırgan boyut”, büyük ölçüde bilgi varyansını ele geçirerek modelin etkin kapasitesini tamamen boşa harcıyor.

Bu sorun, GPT, Llama ve Gemma dahil olmak üzere tüm ana akım Transformer mimarilerinde mevcuttur.

Bu durumla karşılaşıldığında, sektörün önceki çözümleri temel olarak “sonradan düzeltme” idi: model eğitimi tamamlandıktan sonra, seyrek otokodlayıcılar gibi araçlarla birbirine dolanmış kavramlar zorla ayrıştırılırdı.

Ancak bu yöntemle elde edilen sonuçlar sadece “mantıklı görünür”, modelin içsel gerçek mantığıyla eşleşmeyebilir ve sadakat her zaman azalır.

Şimdi GeoLAN yaklaşımı tamamen değişti: Karıştıktan sonra düzeltmek yerine, baştan itibaren kurallara uygun şekilde yerleştirin. Eğitim boyunca temsil uzayına geometrik kısıtlar ekleyin ve her kavram kendi yerine otursun.

挂谷猜想怎么和 AI 扯上关系？

GeoLAN'ın fikrini anlamak için,挂谷猜想'ın ne anlama geldiğini bilmelisiniz.

1917 yılında matematikçi Kakeya Soyichi, 1 santimetre uzunluğunda bir iğneyi bir masanın üzerinde tam bir tur döndürdüğünde, bu iğnenin taradabileceği minimum alanın ne kadar olabileceğini sordu; bu görünürde basit görünen soru, matematik dünyasını yarım asır boyunca zorladı.

Bir tur atmak istediğinizi düşünüyorsanız, kesinlikle bir daire çizeceksiniz ve alanı küçük olmayacaktır. Ancak matematikçiler, bunun sıfıra yakın olabileceğini keşfettiler.

Nasıl yapılır?

İğneyi bir tarafa döndürürken kaydırırsanız, neredeyse sıfır alanlı garip bir şekil oluşturabilir. Yani iki boyutlu bir dünyada, tüm geometrik yolları çok küçük bir köşeye sığdırebilirsiniz.

Meydan okuma daha da artıyor, üç boyutlu bir uzayda ise? Eğer bu iğne yukarı-aşağı, sağ-sol ve sonsuz sayıda üç boyutlu yönde dönebiliyorsa, bu tüm yönlerdeki iğneleri bir uzaya sığdırmak için bu uzay en az ne kadar büyük olmalıdır?

İki boyutlu deneyime göre, üç boyutlu uzayda bu şeklin mutlak hacmi sıfıra yakın şekilde sıkıştırılabilir.

Ancak burada yeni bir bulmaca ortaya çıkıyor: Bu şekil boş olmasına rağmen mikroskobik düzeyde de küçülüp bozulmuş mu? Matematikçiler, bu şeklin iskeletinin yoğunuğunu ölçmek için “fraktal boyut” kavramını tanıttı.

Sonunda Wang Hong ve diğerleri, grafiğin hacmini ne kadar boşaltır olursa olsun, her yöndeki iğnelere dikkat ederek, iç yapısının hâlâ sağlam bir “üç boyutlu doluluk” koruduğunu ve mikro boyutta hiçbir şekilde zayıflamadığını keşfetti. İşte Wang Hong’un yüzyılın sorununu çözen büyük başarısı.

Tam olarak bu sert kanıt sürecinde, "yapışkan buğday topluluğu" adında son derece kritik bir kavram doğdu.

“Yapışkanlık”, açıkçası, bir tür sıvılaşma önleme kuralıdır. Özellikle çizgileri ve boruları birbirine yaklaşmaması için yönetir.

Eğer bir grup boru bu kurallara uysa, düzgünce yayılacak ve alan ne kadar ise o kadar kalacak; ancak eğer kurallara uymazsa ve hepsi küçük bir köşede toplanırsa, alanın “büyüklüğü” küçülecek ve bastırılmış gibi görünecektir.

Buraya kadar okuduysanız, büyük modellerin temsil çöküşünün, “anlamsal boruların yapışkanlık koşulunu sağlamaması ve tümüyle bir araya挤压 edilmesi” olduğu anlaşılır.

GeoLAN,挂谷予想'in matematiksel sonucunu doğrudan mühendislik standardı olarak kullanır: Matematiksel olarak "viskoziteyi sağlar, uzay çökmaz" olduğu kanıtlandığına göre, büyük modellerin semantik uzayına da aynı viskozite kısıtlamasını uygularız ve temsillerinin doğal olarak bir araya sıkışmasını önleriz.

Bu kuralı eğitim sürecine dahil etmek, temel olarak nicelleştirilebilir bir ceza fonksiyonu oluşturmak demektir; yani modelin hesaplayabildiği ve nasıl düzelteceğini bildiği ceza kuralları.

Ardından, GeoLAN, Geometrik Kurallar'ı eğitim hedeflerine dönüştüren iki hesaplanabilir ceza kuralı tasarladı: Birisi "anlam yığılması" için KT-CW, diğeri "dikkat tembelliği" için KT-Attn.

KT-CW, basitçe söylemek gerekirse, eğitim sırasında semantik uzayın çeşitli yönlerini rastgele kontrol eder. Bir yönün çok fazla semantik bilgiyi içerdiğini tespit ederse, modele puan keser. Bu sayede model, bilgilerini yüksek boyutlu uzayın her köşesine eşit şekilde yaymaya zorlanır ve daha önce harcanan boyutları tamamen kullanır; böylece “bir araya sıkışma” sorunu kökten çözülür.

Diğer bir KT-Attn seti, dikkat mekanizmasının tembel davranışını tedavi eder. Büyük modellerin dikkat başları, eğitim sonlarında sıklıkla ciddi bir homojenleşmeye girer; birçok baş sadece aynı kelimeyi ve aynı pozisyonu takip eder, etkili iş gücü çok azdır. Bu kural, her dikkat başının tamamen farklı anlamsal bölgelere odaklanmasını zorunlu kılar ve dikkatin tüm yönlerde kapsamlı olmasını sağlar, dikkat başlarının rütbe çöküşünü tamamen ortadan kaldırır.

Bu kombinasyonun etkisi hemen görüldü.

Llama-3-8B üzerinde, GeoLAN orijinalde sıkıştırılmış konik temsil uzayını yuvarlak bir küreye dönüştürdü, bir araya sıkışma düzeyi önemli ölçüde azaldı, her yönde homojenlik büyük ölçüde arttı ve görev doğruluğu korundu.

Gemma-3-4B üzerinde, MMLU doğruluk oranı 0,59'dan 0,60'a yükseldi, yaklaşık 0,75 puan artış sağlandı. TruthfulQA anlamsal kararlılık önemli ölçüde iyileşti.

Daha büyük ölçekli Gemma-3-12B üzerinde, önyargı oranı metriği istatistiksel olarak belirgin bir düşüş yaşadı.

Daha ilginç olanı, makale “Altın Prenses Bölgesi” adlı ilginç bir fenomeni de keşfetti.

Yani, bu sıkı geometrik kısıtlamaların eşit dağılımı, parametre sayısı çok küçük olan modeller için bir felaket olur; küçük modeller, özgün anlam sıkıştırması için kavramsal karışıma doğuştan ihtiyaç duyar; zorla dağıtmak iç geometrik yapıyı tamamen bozar.

Ancak çok büyük modeller için, büyük ölçekli ön eğitim süreci zaten çok karmaşık bir manifold yapısı oluşturmuştur; bu kuralları eklemek hem uyum sorunlarına neden olur hem de genel performansı yavaşlatır.

Düzgün dağılımdan gelen avantajları tam olarak sindirebilecek kadar yeterli alana sahip olan dört ila sekiz milyar parametre gibi orta boyutlu modeller en iyi sonucu verir.

Ayrıca makale, "Yoğunluk Kuralı"na uyan temsillerde, farklı anlamsal kavramların yaklaşık olarak birbirine dik alt uzaylara otomatik olarak ayrışacağını gösteren ince bir teorem olan "Anlamsal Yapışkanlık Teoremi"'ni türetmiştir. Makale, bu alt uzayları "tanecikler" olarak adlandırmıştır. Her alt uzay bağımsız olarak yorumlanabilir ve ayarlanabilir, bu da endüstride yıllardır süren siyah kutu sorununu şeffaf hale getirir.

Bir ACL makalesi,挂谷予想ini saf matematik dairesinden doğrudan AI mühendisliğine çekti.

Fields Ödülü sahibi, o gün OpenAI'ye katıldığını duyurdu.

Diğer bir dikkat çekici nokta, bu Fields Ödülü'nün sahiplerinden birinin, matematik uzmanı Jacob Tsimerman olduğunu ve ödül alma gününde doğrudan OpenAI'ye çok yakında AI güvenliği alanında işe başlayacağını açıklamasıdır.

Bu, öncü matematik ile Yapay Zeka arasındaki sıkı bağlantıyı dikkat çekmek zorunda bırakıyor.

Tam bir yıl önce, Berkeley'deki AI güvenlik araştırmacısı Andrew Critch ile birlikte, "Yapay Zeka İçeren Tüm Ölümcül Geleceklerin Bir Sınıflandırması" adlı makaleyi yazdı ve matematiksel titizlikle AI risk yolları için sıkı bir sınıflandırma sistemi kurdu.

Kendisi, AI'nın büyük bir yararlanıcısıdır; 2025 yılında arXiv'e 5 matematik makalesi yüklemiş ve AI'nın bilimsel üretkenliğini doğrudan iki katına çıkardığını söylemiştir.

Daha dramatik olan, ödül verilmeden üç gün önce, Anthropic'ın en yeni Claude Fable 5'i kullanılarak 87 yıldır askıda kalan Jacobi hipotezi bir gecede çürütüldü ve küresel matematik dünyasını sarstı. Bu kişi, tam olarak öğrencisi Levent Alpöge idi.

Yapay zekânın sürekli olarak en üst düzey matematikçilerin "zekâsına" yaklaşması ve hatta aşması karşısında, matematik büyüklerinden Timothy bile açıkça şöyle dedi: "Bu, büyük dil modellerinin tamamen tanımadığım bir alanda, ünlü yüzyıl sorunlarını kolayca çözdüğü ilk kez."

Matematik ve AI arasındaki ilişki, artık "birbirinden ayrılmaz" kelimesiyle tanımlanabilecek sınırları aşmış ve inanılmaz bir hızla birleşiyor.

Geçen yılın matematik arenasındaki AI performansını gözden geçirin: DeepMind'in AlphaProof'i uluslararası matematik olimpiyatlarında gümüş madalya kazanırken, OpenAI'nin çıkarım modeli sekiz yıldır çözülemeyen Erdős birim mesafe hipotezini çürüttü, GPT-5.6 sadece bir saatte döngüsel çift kaplama hipotezini çözdü ve Claude Fable 5, Jacobi hipotezini bir gece içinde ortadan kaldırdı. AI, iki ay içinde birden fazla asır rekoru kırdı ve çözüm hızı üstel olarak artmaya devam ediyor.

AMS röportajında Jacob, "Matematik dünyasında çok sayıda kendi kendini yatıştırma var; AI'nın şu anda matematikçilerden daha az yetenekli olduğunu görüp, bunun kalıcı olacağını varsayıyorlar." diyerek doğrudan ifade etti. Kendi uygulamalarıyla, modelin kanıtlarının "eksik ve titiz değil" olduğunu, ancak "genellikle yaklaşık doğru bir yöntemi ortaya koyup, yolun yüzde seksenini size tamamlama konusunda yardımcı olabileceğini" kanıtladı.

O, iki yıl içinde yapay zekânın matematiksel ispat konusunda insanları tamamen geçeceğini dahi düşünüyor.

Peki soru şu: 2030 yılında, dört yıl sonra, Fields Ödülü'nü hâlâ bir insan mı alacak?

Fields Ödülü'nün yaş sınırı kesindir; ödüllü kişi 40 yaşından küçük olmalıdır. Bu, eğer yapay zeka önümüzdeki dört yıl içinde insan matematikçilerin orijinal keşif yeteneğini sistematik olarak aşarsa, jüriye hiç olmadığı kadar yeni bir zorluk sunacaktır: Ödülü en iyi matematik çalışmasını yapan kişiye mi veriyorsunuz, yoksa "insanlar arasında en iyi matematik çalışmasını yapan" kişiye mi?

Daha ilgi çekici olan, matematik ile AI arasındaki çift yönlü hızlanmadır. Üç boyutlu挂谷 sanısı yeni kanıtlandı, üç ay sonra GeoLAN doğdu; saf matematik sonuçları doğrudan büyük model eğitim araçlarına dönüştü. Bugün Fields Ödülü'nde övülen André-Oort sanısı ve Hilbert'in altıncı sorununa ilişkin atılımlar, yarın hangi AI yeteneklerine dönüşecektir?

Geçmişte matematikçiler önde yol açar, AI arkada hazineler toplar denirdi. Ancak şimdi, hazineleri toplayan, kendi yolunu açmaya başladı.