Ringkasan yang dihasilkan AI: Pasukan Universiti Florida mengaplikasikan konjektur Kakeya tiga dimensi yang baru dibuktikan kepada latihan model besar, mengembangkan kaedah GeoLAN untuk menyelesaikan masalah “kotak hitam” AI. Kaedah ini memanfaatkan konsep “set Kakeya lekat” yang muncul daripada bukti konjektur Kakeya, untuk memberikan sekatan geometri kepada ruang semantik model besar, memperjelas konsep sejak peringkat latihan, menjadikan laluan pemikiran AI boleh dilacak. Eksperimen menunjukkan peningkatan yang ketara pada model seperti Llama-3-8B dan Gemma-3-4B. Sementara itu, penerima anugerah Fields tahun ini, Jacob Tsimerman, mengumumkan pada hari penganugerahan bahawa beliau akan menyertai OpenAI untuk bekerja dalam keselamatan AI, menunjukkan bahawa matematik dan AI sedang bergabung pada kelajuan yang belum pernah terjadi sebelumnya.

Penulis artikel, sumber: Leifengwang

Bidang matematik dan bidang AI berkolaborasi dengan kuat

Hasil matematik tulen yang ketat telah secara langsung diterapkan dalam latihan model besar.

Seorang penulis Xiaohongshu, Z9, menemukan semasa mengkaji kertas kerja bahawa teka-teki挂谷 tiga dimensi yang baru-baru ini menjadi viral di seluruh internet kini telah diintegrasikan ke dalam proses latihan rangkaian saraf oleh pasukan Universiti Florida, menyelesaikan masalah "kotak hitam" model besar secara lintas bidang.

Kertas mereka berjudul "GeoLAN: Geometric Learning of Latent Explanatory Directions in Large Language Models", dan intinya ialah menggunakan konsep utama yang muncul dalam bukti Konjektur Kakeya, iaitu "Kakeya Set yang Lengket", untuk menetapkan "peraturan penyusunan" dalam ruang semantik dalaman model besar, serta meluruskan konsep-konsep yang kusut sejak peringkat latihan, supaya laluan pemikiran AI benar-benar boleh dilacak.

Benar-benar, di depan ada pakar matematik yang membuka jalan, di belakang ada penyelidik AI yang mengumpul harta karun.

Masalah asas model besar: keruntuhan representasi

Mari kita mulakan dengan "masalah kotak hitam" yang semua orang rasakan.

Model besar semasa ini mempunyai ketepatan yang tinggi dalam menyelesaikan soalan, menulis kod, dan melakukan analisis, tetapi apabila anda bertanya, “Bagaimana langkah ini dipikirkan?”, ia tidak dapat menjelaskan dengan jelas atau segera mencipta alasan palsu untuk menipu anda.

Akar masalah ini tersembunyi dalam ciri asas yang dipanggil representational collapse.

Anda boleh membayangkan ruang semantik model besar sebagai gudang pintar raksasa berlapis-lapis ribuan, yang secara teorinya mampu mengklasifikasikan dan menyimpan tanpa batas konsep: logik, emosi, fakta, penarikan kesimpulan, dan sebagainya, masing-masing dengan ruang tersendiri.

Namun, semasa latihan Transformer, ia sangat “malas” — ia selalu mengumpulkan semua maklumat semantik di satu kawasan kecil di depan gudang, sementara 90% ruang yang tersisa dibiarkan kosong.

Hasilnya, semua konsep terkumpul dalam kawasan kon berdimensi tinggi yang sempit, yang dikenali oleh akademik sebagai "anisotropi".

Namun, akibat bertindih-tindih akan membawa banyak masalah.

Sebagai contoh, entanglement konsep akan memaksa perkara yang tidak berkaitan sama sekali ke arah yang sama, menyebabkan satu neuron perlu merespons “kucing” sambil mengaktifkan “ayat Alkitab”.

Dan anda sama sekali tidak boleh memisahkan mana representasi yang berkaitan dengan mana logik, bahkan model itu sendiri tidak mampu mengembalikan laluan pemikiran sebenar.

Apabila konsep yang serupa tetapi berbeza dipadatkan bersama, ia mudah menimbulkan kekeliruan; sedikit perubahan dalam soalan boleh menyebabkan AI berkata-kata secara tidak tepat.

Untuk ini, makalah tersebut memberikan ringkasan yang sangat tepat: beberapa "dimensi jahat" sedikit saja menguasai sebahagian besar varians maklumat, membuang habis kapasiti berkesan model.

Masalah ini hampir menjadi kelemahan semua arsitektur Transformer utama, dari GPT, Llama hingga Gemma, tanpa terkecuali.

Dalam menghadapi situasi ini, penyelesaian sebelumnya dalam industri pada dasarnya adalah “tindakan memperbaiki selepas kejadian”, iaitu menunggu sehingga latihan model selesai, kemudian menggunakan alat seperti sparse autoencoder untuk memisahkan konsep-konsep yang saling terkait secara paksa.

Namun, hasil yang diperoleh daripada kaedah ini hanya “kelihatan munasabah” dan tidak semestinya mencerminkan logik sebenar dalam model, sehingga keaslian sentiasa terjejas.

Sekarang, pendekatan GeoLAN berubah secara langsung: jangan tunggu sehingga berantakkan baru rapihkan, mulailah dengan menyusunnya mengikut peraturan sejak awal. Tambahkan sekatan geometri ke ruang representasi sepanjang latihan, supaya setiap konsep berada di tempatnya masing-masing.

Bagaimana konjektur Kakeya berkaitan dengan AI?

Untuk memahami pemikiran GeoLAN, anda perlu tahu apa yang dibincangkan dalam Konjektur Hanggu.

Pada tahun 1917, ahli matematik Kakeya Susuo menanyakan satu masalah yang kelihatan mudah tetapi mengganggu dunia matematik selama separuh abad: Dengan mengambil satu jarum sepanjang 1 cm dan memutarnya sekali penuh di atas meja, berapakah luas minimum yang boleh dilalui olehnya?

Anda mungkin berfikir, berputar sekeliling pasti akan membentuk satu bulatan, dan luasnya tidak akan kecil. Tetapi ahli matematik mendapati bahawa ia boleh mendekati 0.

Bagaimana ia dilakukan?

Jika anda memutar dan menggelincirkan jarum serentak, ia sebenarnya boleh mencipta bentuk aneh yang luasnya hampir sifar. Dengan kata lain, dalam dunia dua dimensi, anda boleh memadatkan semua lintasan geometri ke dalam sudut yang sangat kecil.

Cabaran semakin meningkat, bagaimana jika dalam ruang tiga dimensi? Apabila jarum ini boleh berputar ke segala arah立体—atas, bawah, kiri, kanan, dan tak terhingga arah lain—berapa ukuran minimum ruang yang diperlukan untuk memuatkan semua jarum dalam arah-arah ini?

Berdasarkan pengalaman dua dimensi, dalam ruang tiga dimensi, volume mutlak bentuk ini masih boleh dimampatkan hingga hampir sifar.

Namun, ini menciptakan teka-teki baru: walaupun grafik ini kosong tanpa isi, adakah ia juga menyusut dan memburuk pada peringkat mikro? Ahli matematik memperkenalkan “dimensi fraktal” untuk mengukur kepadatan rangkanya.

Akhirnya, Wang Hong dan orang-orang lain menemukan bahawa walaupun anda mengekstrak isipadu grafik sehingga paling kosong, kerangka bersilang di dalamnya tetap mempertahankan "kepadatan tiga dimensi" yang kukuh, tanpa sebarang penurunan pada dimensi mikro. Inilah kehebatan Wang Hong dalam menyelesaikan masalah abad ini.

Dalam proses bukti keras ini, sebuah konsep yang sangat penting dipelopori, iaitu "sticky gumball set".

“Kekakuan” pada dasarnya adalah satu set peraturan anti-penghimpunan. Ia khusus digunakan untuk mengawal segmen dan tiub agar tidak berkumpul bersama.

Jika satu set tiub mematuhi peraturan ini, mereka akan meregang dengan rapi, dan ruang akan tetap sebesar yang seharusnya; tetapi jika mereka tidak mematuhi peraturan dan semuanya terkumpul di satu sudut kecil, "ukuran" ruang akan menyusut, kelihatan seperti dipadatkan.

Di sini, anda sepatutnya sudah boleh menyambungkannya: keruntuhan representasi model besar bukankah “salur semantik tidak memenuhi syarat kekentalan, semuanya terkumpul bersama”?

Apa yang dilakukan GeoLAN ialah mengambil kesimpulan matematik teori Gu Valley secara langsung sebagai piawaian kejuruteraan: kerana secara matematik telah dibuktikan secara ketat bahawa "memenuhi kekentalan, ruang tidak runtuh", maka kita akan menambahkan sekatan kekentalan yang sama kepada ruang semantik model besar, supaya perwakilannya secara semula jadi tidak akan bertindih rapat.

Perlu memasukkan peraturan ini ke dalam proses latihan, intinya ialah mencipta fungsi hukuman yang boleh diukur, iaitu peraturan hukuman yang boleh dihitung oleh model dan mengetahui cara memperbaikinya.

Kemudian, GeoLAN mereka dua set peraturan hukuman yang boleh mengira, menukar peraturan geometri dalam Konjektur Gap menjadi matlamat latihan. Satu dipanggil KT-CW, khas untuk mengatasi "pengumpulan semantik"; yang lain dipanggil KT-Attn, khas untuk mengatasi "perhatian yang malas".

Secara ringkas, KT-CW ialah dengan secara rawak menguji pelbagai arah dalam ruang semantik semasa latihan. Jika ditemui satu arah mengandungi terlalu banyak maklumat semantik, model akan diberi penalti. Ini memaksa model untuk menyebarkan pengetahuan secara seragam ke seluruh sudut ruang berdimensi tinggi, memanfaatkan semua dimensi yang sebelumnya terbuang, dan menyelesaikan masalah “berkumpul rapat” pada asalnya.

Satu set KT-Attn lain pula khusus menangani tingkah laku malas dalam mekanisme perhatian. Pada peringkat akhir latihan, kepala perhatian model besar sering mengalami homogenisasi serius, di mana banyak kepala hanya memfokuskan diri pada perkataan dan posisi yang sama sepanjang masa, dengan sedikit tenaga kerja yang berkesan. Peraturan ini secara paksa menetapkan bahawa setiap kepala perhatian mesti memperhatikan kawasan semantik yang benar-benar berbeza, memastikan perhatian merangkumi semua arah dan membasmi secara menyeluruh fenomena keruntuhan pangkat pada kepala perhatian.

Setelah serangkaian tindakan ini dilakukan, kesannya boleh dikatakan segera nampak.

Di atas Llama-3-8B, GeoLAN secara paksa membentuk ruang representasi konus yang sebelumnya terjepit menjadi bentuk bola yang licin, mengurangi kepadatan antara satu sama lain secara ketara dan meningkatkan keseragaman ke segala arah, sambil mengekalkan ketepatan tugas.

Pada Gemma-3-4B, ketepatan MMLU meningkat dari 0.59 kepada 0.60, iaitu kira-kira 0.75 peratus. Kestabilan semantik TruthfulQA meningkat secara ketara.

Pada Gemma-3-12B yang lebih besar, indikator kadar bias juga mengalami penurunan yang signifikan secara statistik.

Yang lebih menarik, kertas kerja itu juga menemukan fenomena menarik yang dipanggil "Zona Goldilocks".

Dengan itu, penyebaran seragam terhadap sekatan geometri yang ketat ini justru menjadi bencana bagi model dengan jumlah parameter yang terlalu kecil; model kecil secara semula jadi memerlukan kekacauan konsep untuk kompresi semantik ekstrem, dan memaksa pemisahan hanya akan memburukkan struktur geometri dalaman sepenuhnya.

Bagi model raksasa yang terlalu besar, proses pra-pelatihan yang besar telah secara spontan membina struktur manifold yang sangat kompleks; menambahkan peraturan ini tidak hanya tidak sesuai, tetapi juga akan menghambat prestasi keseluruhan.

Hanya model berukuran sederhana seperti empat hingga delapan miliar parameter yang memiliki ruang yang cukup untuk menyerap manfaat daripada taburan seragam, dan justru memberikan hasil terbaik.

Selain itu, kertas ini juga menurunkan teorem halus bernama "Teorem Kekakuan Semantik": apabila perwakilan memenuhi "peraturan anti-pengisian", konsep semantik yang berbeza akan secara automatik terurai menjadi subruang yang hampir berserenjang, yang dipanggil secara intuitif sebagai "butiran". Setiap subruang boleh ditafsirkan dan disesuaikan secara berasingan, bermakna masalah kotak hitam yang telah mengganggu industri selama bertahun-tahun kini menjadi telus.

Sebuah kertas ACL membawa dugaan Otsu dari mahligai matematik tulen ke kejuruteraan AI.

Penerima Anugerah Fields, mengumumkan penyertaan mereka di OpenAI pada hari itu

Satu perkara lain yang perlu diperhatikan ialah salah seorang penerima Anugerah Fields, pakar matematik Jacob Tsimerman, telah mengumumkan pada hari penganugerahan bahawa beliau akan segera menyertai OpenAI untuk bekerja dalam bidang keselamatan AI.

Ini membuat kita perlu memperhatikan hubungan rapat antara matematik canggih dan AI.

Satu tahun lalu, beliau bekerjasama dengan penyelidik keselamatan AI dari Berkeley, Andrew Critch, dalam menulis kertas kerja berjudul "A Taxonomy of Omnicidal Futures Involving Artificial Intelligence", membina sistem klasifikasi yang ketat bagi lintasan risiko AI dengan ketelitian ekstrem seorang ahli matematik.

Beliau sendiri merupakan penerima faedah besar daripada AI; pada tahun 2025, lima kertas matematik beliau telah dipaparkan di arXiv, dan beliau secara terus menyatakan bahawa AI telah meningkatkan kecekapan pengeluaran penyelidikan beliau sebanyak dua kali ganda.

Lebih dramatik lagi, tiga hari sebelum upacara penganugerahan, seseorang menggunakan Claude Fable 5 terkini dari Anthropic, dan dalam semalam membantah dugaan Jacobi yang telah ditangguhkan selama 87 tahun, menggemparkan dunia matematik. Orang itu ialah pelajarnya, Levent Alpöge.

Menghadapi kecerdasan AI yang terus mendekati dan bahkan melampaui ahli matematik terkemuka, ahli matematik terkemuka Timothy secara terbuka mengatakan: Ini adalah pertama kalinya dalam hidupnya melihat model bahasa besar berjaya menyelesaikan masalah abad yang terkenal di bidang yang sepenuhnya asing baginya.

Hubungan antara matematik dan AI sudah melampaui istilah "tidak dapat dipisahkan", dan keduanya sedang menyatu dengan laju yang menakjubkan.

Mengulas rekod AI di pentas matematik sepanjang tahun lalu, dari AlphaProof DeepMind yang memenangi pingat perak di pertandingan Olimpiad Matematik Antarabangsa, hingga model penalaran OpenAI yang berjaya membantah dugaan jarak unit Erdős yang telah bertahan selama lapan dekad, kemudian GPT-5.6 hanya memerlukan satu jam untuk menyelesaikan dugaan lipatan ganda berputar, serta Claude Fable 5 yang menghapuskan dugaan Jacobi semalaman—AI telah mencatatkan beberapa rekod abad dalam tempoh dua bulan sahaja, dan laju penyelesaian masalah semakin meningkat secara eksponen.

Dalam temu bual AMS, Jacob secara terus terang berkata, “Terdapat banyak ‘penghiburan diri’ di kalangan matematik, di mana orang memandang AI sekarang kurang mampu daripada ahli matematik, lalu menyimpulkan ia akan selalu kurang mampu.” Beliau membuktikan dengan amalan sendiri bahawa walaupun bukti model itu “tidak lengkap dan tidak ketat”, ia “biasanya mampu menghasilkan pendekatan yang secara umum betul, membantu anda menyelesaikan lapan puluh peratus perjalanan.”

Dia bahkan percaya bahawa dalam tempoh dua tahun, AI akan secara menyeluruh melebihi manusia dalam hal pembuktian matematik.

Jadi, masalahnya ialah: Pada tahun 2030, empat tahun dari sekarang, akankah ada pemenang manusia untuk Anugerah Fields?

Medal Fields mempunyai had umur yang ketat, penerima harus belum mencapai usia 40 tahun. Ini bermakna, jika AI dalam tempoh empat tahun ke depan secara sistematik melampaui kemampuan penemuan asli ahli matematik manusia, maka jawatankuasa penilai akan menghadapi satu dilema tanpa precedent: adakah anda memberi anugerah kepada orang yang membuat kerja matematik terbaik, atau kepada "manusia yang membuat kerja matematik terbaik"?

Yang lebih menarik ialah akselerasi dua arah antara matematik dan AI. Konjektur Kakeya tiga dimensi baru saja dibuktikan, dan tiga bulan kemudian muncul GeoLAN, hasil matematik tulen yang secara langsung diaplikasikan sebagai alat latihan model besar. Apa kemampuan AI yang akan muncul esok hari sebagai hasil perkembangan konjektur André-Oort dan terobosan Masalah Keenam Hilbert yang dihargai dalam Hadiah Fields hari ini?

Dulu selalu dikatakan, ahli matematik berada di depan untuk membuka jalan, sementara AI mengikuti di belakang untuk mengumpulkan harta karun. Tetapi sekarang, yang mengumpulkan harta karun itu sudah mulai membuka jalan sendiri.