This day shook the entire mathematics community.
एक ऐसी अत्यंत जटिल गणितीय समस्या, जिसने असंख्य शीर्ष गणितज्ञों को असफलता का सामना कराया और चीनी प्रतिभाशाली गणितज्ञ ज़ांग यितांग को सात वर्षों तक कठिनाइयों का सामना करना पड़ा, जिसके चलते उन्हें सेबीवे में प्लेट धोनी पड़ी—याकोबी अनुमान, Fable 5 द्वारा असत्य साबित कर दिया गया!
कल शाम, Anthropic के शोधकर्ता लेवेंट अल्पोगे ने ट्वीट किया:
नमस्ते, जेकोबी अनुमान गलत है, मेरे मित्र अखिल के इस प्रश्न के लिए धन्यवाद, और मेरे दूसरे मित्र फेबल के लिए धन्यवाद जो विश्व कप फाइनल के दौरान भी काम कर रहे थे।
The text below is a simple mathematical formula.
एक 87 साल पुरानी मूलभूत गणितीय समस्या को फेबल 5 ने एक रविवार की शाम को आसानी से हल कर दिया।
जेकोबी अनुमान की समस्या अत्यंत कठिन है। शायद मानवता को इसे हल करने में एक सौ साल और लगेंगे। आपका प्रयास प्रशंसनीय है, शायद कभी-कभी ओलंपस के देवता आपकी ओर अपनी कृपा बरसाएंगे।
जेकोबी अनुमान का खंडन केवल गिरने वाली पहली डोमिनो बन सकती है, कई अनुमानों का खंडन हो सकता है।
जैसा कि गणितज्ञ जैरेड डुकर लिक्टमैन ने चिल्लाया: "यह आधुनिक गणित की सबसे प्रेरक कहानियों में से एक है।"
कुछ लोग कहते हैं कि मैंने विज्ञान समुदाय में X को इतनी तीव्र उत्साह और भारी आश्चर्य में देखा ही नहीं है।
और इसके पीछे, ज़ांग यितांग के चुराए गए सात वर्ष हैं।
जेकोबी अनुमान क्या है? एक 'स्वाभाविक' जाल
आइए पहले समय को 1939 में वापस ले जाते हैं। उस वर्ष, जर्मन गणितज्ञ ऑट-हेनरिच केलर ने एक प्रश्न पूछा:
यदि एक बहुपद प्रतिचित्रण का जैकोबियन निर्धारक एक गैर-शून्य अचर है, तो क्या इस प्रतिचित्रण का एक बहुपद प्रतिलोम होना आवश्यक है?
वास्तव में, इस प्रश्न के पीछे की अंतर्दृष्टि सरल है—कैलकुलस में, प्रतिलोम फलन प्रमेय हमें बताता है कि यदि किसी बिंदु पर फलन का जैकोबियन निर्धारक शून्य नहीं है, तो उस बिंदु के आसपास फलन का स्थानीय प्रतिलोम मौजूद होता है।
जेकोबी अनुमान पूछता है: यदि यह शर्त सर्वत्र सत्य है और फलन एक बहुपद प्रतिचित्रण है, तो क्या प्रतिलोम प्रतिचित्रण भी बहुपद होना चाहिए?
यह एक आमतौर पर "स्थानीय से सार्वभौमिक" की समस्या है, जो लगता है कि यह स्वतः सत्य होनी चाहिए, लेकिन दुनिया के सबसे बुद्धिमान दिमागों को 87 साल तक भ्रमित करती रही।
द्विआयामी संस्करण 1884 में पेश किया गया था, जिसके साथ एक साबित करने का प्रयास भी किया गया था जिसमें बाद में एक दोष पाया गया।
एक बार में, AI ने एक शानदार विपरीत उदाहरण दिया
यह प्रश्न सरल लगता है, लेकिन यह एक वास्तविक गणितीय भूर्तिला है। असंख्य गणितज्ञों ने इस अनुमान को साबित करने का दावा करते हुए कई पत्र प्रकाशित किए हैं, लेकिन एक के बाद एक, उनमें तर्क में दोष पाए गए हैं।
इस सप्ताहांत तक, Claude Fable 5 लॉन्च हो गया है।
यह मानवीय तर्क के अनुसार सिद्ध नहीं करता, बल्कि सीधे त्रि-आयामी अंतरिक्ष में
एक विपरीत उदाहरण दिया गया:
यह बहुपद प्रतिचित्रण, जो C³ से C³ में जाता है, उसका जैकोबियन निर्धारक हमेशा -2 के बराबर होता है—एक गैर-शून्य अचर, जो अनुमान की पूर्वशर्तों को संतुष्ट करता है।
इस प्रतिउदाहरण की संक्षिप्तता और शैली भयानक स्तर तक पहुँच गई है। कोई भी डिग्री के पहले वर्ष का छात्र, जिसने कैलकुलस का अध्ययन किया हो, आंशिक अवकलन लेकर इस त्रिविमीय बहुपद के जैकोबियन निर्धारक की गणना कर सकता है, जो हमेशा -2 के बराबर होता है।
If the prerequisites of the conjecture are satisfied, is it reversible?
Fable 5 स्पष्ट रूप से अपनी अनूनात्मकता को दर्शाता है—यह फ़ंक्शन तीन अलग-अलग बिंदुओं: (0, 0, -1/4), (1, -3/2, 13/2) और (-1, 3/2, 13/2) को एक ही छवि बिंदु: (-1/4, 0, 0) पर मैप करता है।
चूंकि तीन अलग-अलग बिंदु एक ही परिणाम की ओर इशारा करते हैं, इसलिए इसका प्रतिलोम फलन संभव नहीं है।
Thus, the generalized Jacobian conjecture has been completely disproven.
एक 87 साल पुरानी अनुमान, जिसे AI ने बस इतना ही हल कर दिया।
सोशल मीडिया पर, एक प्रभावशाली गणित के प्रोफेसर और ग्रेजुएट स्टूडेंट्स इस विपरीत उदाहरण की पुष्टि करने के लिए आपस में प्रतिस्पर्धा कर रहे हैं।
किसी ने Wolfram Alpha का उपयोग करके त्वरित जांच की, और पाया कि परिणाम पूरी तरह सही हैं।
लेकिन इस विपरीत उदाहरण की विशेषता यह है कि यह स्वयं की पुष्टि करता है: यह इतना संक्षिप्त है कि इसे हाथ से गणना करके सत्यापित किया जा सकता है, और इसकी सुंदरता और सटीकता आश्चर्यचकित कर देती है।
यूसी बर्कले के कंप्यूटर साइंस/सांख्यिकी के अध्यापक और पूर्व Google DeepMind शोध वैज्ञानिक जेसन ली ने कहा: 'गणित समाप्त हो गया है।' (Math is solved.)
जल्द ही, GPT-5.6 ने इस परिणाम का विश्लेषण किया और एक नया, सुधारित अनुमान प्रस्तुत किया: "एक नियत जैकोबी बहुपद का स्थानीय द्वि-विश्लेष्य प्रतिचित्रण, यदि अनंत पर पत्ती संख्या का कोई ह्रास नहीं होता है, तो यह एक स्वयंसमाकार है।"
ओपनएआई के आरन लू ने आंतरिक कोडेक (बिना नेटवर्क खोज के) का उपयोग करके मूल रूप से समान विपरीत उदाहरण को शून्य से निकाला, रणनीति और सबूत को पूरी तरह से लिखा, और पुनर्निर्माण योग्य गणितीय निष्कर्ष (त्रिघाती गुणनखंडन से लेकर अफ़ीन निर्देशांक परिवर्तन तक) प्रदान किया।
यह न केवल विपरीत उदाहरण के पीछे की संरचनात्मक तंत्र को ढूंढता है, बल्कि मानव को इस समस्या को पुनः परिभाषित करने का मार्गदर्शन भी करता है।
यह साबित करता है कि AI में सिर्फ नकल करने के बजाय वास्तविक गणितीय रचनात्मकता है।
गणितज्ञ लिच्टमैन ने आश्चर्य व्यक्त किया कि वे शीर्ष बीजगणितज्ञों की GPT द्वारा प्रस्तावित नई कल्पनाओं पर प्रतिक्रिया देखना चाहते हैं।
पूर्ण निष्कर्षण प्रक्रिया निम्नलिखित है:
https://aaronlou.com/jacobian_counterexample_derivation.pdf
डेटा साइंटिस्ट कैल अल्ड्रेड ने फेबल + GPT 5.6 Sol का उपयोग करके अनंत विपरीत उदाहरणों को जनरेट करने की एक विधि प्रस्तुत की!
ज़हां यितांग के सात वर्ष चुरा लिए गए
लेकिन इस कहानी का सबसे दुखद हिस्सा ज़ांग यितांग से संबंधित है।
सभी को याद है, सेबीवे में काम करने वाले गणित के जादूगर की कहानी।
ज़ंग यितांग, जिन्होंने ट्विस्ट प्राइम कॉन्जेक्चर पर ब्रेकथ्रू योगदान दिया, उनका नाम विश्वभर में प्रसिद्ध हो गया, लेकिन इससे पहले के कई दशकों में, उनका अनुभव शैक्षणिक संस्थानों के लिए एक त्रासदी था।
1990 के शुरुआत में, ज़ांग यितांग ने पर्द्यू विश्वविद्यालय में डॉक्टरेट की डिग्री के लिए अध्ययन किया, जिनके गुरु मो ज़ोंगजियान थे। मो ज़ोंगजियान को याकोबी अनुमान की सही होने पर विश्वास था, और उन्होंने ज़ांग यितांग को इसे अपनी डॉक्टरल थीसिस के विषय के रूप में चुनने के लिए कहा।
मो जोंगजियान ने ज़हांग यितांग को एक “प्रमेय” दिया—एक ऐसा गणितीय प्रस्ताव जिसे सही माना जाता था, जिसे अध्ययन के आधार के रूप में उपयोग किया जाए। ज़हांग यितांग ने इस दिशा में गहराई से अध्ययन किया और अपनी डॉक्टरेट की थीसिस में एक बार इस अनुमान के कमजोर स्वरूप को हल कर दिया होने का दावा किया।
हालांकि, भाग्य ने एक क्रूर हंसी खेली।
समकक्षों की समीक्षा के बाद, ज़ांग यितांग द्वारा उपयोग की गई महत्वपूर्ण प्रमेय को गलत साबित कर दिया गया है। और यह प्रमेय, जिसकी उत्पत्ति उनके शिक्षक मो ज़ोंजियान के पूर्व प्रकाशित शैक्षणिक कार्यों से हुई है।
उसने कई वर्षों तक एक सिद्धांत का निर्माण किया था, लेकिन अचानक पता चला कि उसकी नींव बेकार की है। सभी प्रयास, सभी निष्कर्ष, एकदम ढह गए।
मो ज़ोंजियान ने ज़ांग यितांग की आलोचना की कि वह बीजीय ज्यामिति के लिए उपयुक्त नहीं हैं, और मानते हैं कि उनकी डॉक्टरेट की अवधि ने अपने सात साल का समय बर्बाद कर दिया और मेरा समय भी बर्बाद कर दिया। और अधिक घातक बात यह है कि मो ज़ोंजियान ने ज़ांग यितांग के लिए सिफारिशी पत्र नहीं लिखा।
This makes it impossible for a Purdue University Ph.D. graduate to make progress in academia.
ज़ंग यितांग को शैक्षणिक क्षेत्र छोड़ना पड़ा और उन्हें लंबी अनिश्चित यात्रा शुरू करनी पड़ी। उन्होंने विभिन्न अस्थायी कार्य किए, जिनमें सबसे अधिक जाना जाता है कि उन्होंने सात साल तक सबवे रेस्तरां में काम किया।
2013 तक, 58 वर्षीय ज़ांग यितांग ने ट्विन प्राइम कॉन्जेक्चर के बारे में एक क्रांतिकारी पेपर प्रकाशित किया, जिससे वह एक अज्ञात विश्वविद्यालय के अध्यापक से वैश्विक रूप से ध्यान आकर्षित करने वाले गणितज्ञ बन गए।
लेकिन वह बर्बाद हो चुकी सात साल की अवधि अब हमेशा के लिए वापस नहीं आ सकती।
बाद में, उन्होंने अपने उस समय के अनुभव को व्यक्त करने के लिए दु फू की कविता का उल्लेख किया: 'यु शिन का पूरा जीवन सबसे उदास रहा, और उनकी वृद्धावस्था की कविताएँ नदियों और सीमाओं को हिला दीं।'
अधिक व्यंग्य यह है कि 2018 में, जब ज़ांग यितांग ने जुड़वां अभाज्य संख्या अनुमान के कारण प्रसिद्धि प्राप्त की, तो मो ज़ोंगजियान ने विशेष रूप से एक और संस्करण की "आत्मकथा" जोड़ दी, जिसमें ज़ांग पर आरोपों को और मजबूत किया गया, लेकिन अपनी जिम्मेदारी को फिर भी कमजोर कर दिया गया।
वह जेकोबी अनुमान की सही प्रकृति पर विश्वास करता है, और यहां तक कि मानता है कि AI जल्द ही साबित करने की प्रक्रिया में त論िक समस्याओं को हल करने में मदद करेगा।
आज अंततः, AI ने आसानी से एक सरल विपरीत उदाहरण दिया।
बहुत दुखद है।
बेशक, यह ध्यान देने योग्य है कि इस बार AI ने त्रि-आयामी जैकोबी अनुमान को असत्य साबित किया है, जिसका अर्थ है कि "सभी आयामों के लिए सत्य" वाले सामान्यीकृत संस्करण को खारिज कर दिया गया है।
ज़ंग यितांग ने तब द्वि-आयामी स्थिति पर अध्ययन किया था, और द्वि-आयामी त्रि-आयामी का सरल निम्न-आयामी संस्करण नहीं है—बल्कि, द्वि-आयामी इस समस्या का अधिक केंद्रीय और वर्तमान में अधिक कठिन भाग है, जिसका गणितीय महत्व अधिक है और जिसे अभी तक हल नहीं किया गया है।
But this in no way diminishes the impact of this event.
फील्ड्स पुरस्कार विजेता टाइमोथी गाउवर्स ने निराशाजनक और प्रभावशाली ढंग से कहा: "2030 का फील्ड्स पुरस्कार, मानवता को दिया जाने वाला अंतिम बार हो सकता है।"
संदर्भ:
https://x.com/search?q=Jared%20Duker%20Lichtman&src=typed_query
यह लेख वेचेन ग्रुप "न्यूज़िज़ियुन" से आया है, लेखक: ASI अपोकैलिप्स, संपादक: डेविड एनियस