Fable 5 證明 87 年前的雅可比猜想錯誤，震撼數學界

On this day, the entire mathematics community was shocked.

一個讓無數頂尖數學家折戟，讓華人天才數學家張益唐苦熬七年、被迫在賽百味洗盤子的超級數學難題——雅可比猜想，被 Fable 5 證偽！

昨天傍晚，Anthropic 的研究人員 Levent Alpoge 發布推文：

大家好，雅可比猜想是錯的，感謝我的好友 Akhil 提出這個問題，也感謝我的另一位好友 Fable 在世界盃決賽期間仍在工作。

在文案下方，是一個簡潔的數學公式。

一個有著87年歷史的核心數學難題，就這樣被 Fable 5 在一個週日的傍晚輕鬆解決。

雅可比猜想的問題極其困難。或許人類還需要一百年才能解決它。你的嘗試值得尊敬，也許奧林匹斯眾神終有一天會眷顧你。

The disproof of the Jacobian conjecture may just be the first domino to fall, with multiple conjectures potentially being disproven.

正如數學家 Jared Duker Lichtman 所驚呼的那樣：「這是現代數學中最鼓舞人心的故事之一。」

有人說，我很少見到科學圈的 X 像現在這樣，陷入如此瘋狂的興奮與巨大的震驚之中。

而這背後，是張益唐被偷走的七年。

什麼是雅可比猜想？一個「理所當然」的陷阱

讓我們先把時間撥回 1939 年。那一年，德國數學家 Ott-Heinrich Keller 提出了一個問題：

如果一個多項式映射的雅可比行列式是一個非零常數，那麼這個映射是否一定存在多項式逆映射？

實際上，這個問題背後的直覺很簡單——在微積分中，反函數定理告訴我們，如果函數在某點的雅可比行列式不為零，那麼在該點附近函數存在局部逆。

雅可比猜想問的是：如果這個條件處處成立，且函數是多項式映射，那麼逆映射是否也必須是多項式？

這是一個典型的「局部到全局」問題，看似理所當然應該成立，卻讓世界上最聰明的頭腦困惑了整整87年。

The two-dimensional version was proposed as early as 1884, along with a proof that was later found to have a flaw.

隨手一擊，AI 給出神級反例

這個問題看似簡單，卻是一個名副其實的數學黑洞。無數數學家發表了大量聲稱證明了該猜想的論文，但無一例外，都被發現邏輯中有瑕疵。

直到這個週末，Claude Fable 5 登場了。

它沒有順著人類的思路去證明，而是直接在三維空間

中甩出了一個反例：

這個看起來頗為複雜的多項式映射，從 C³ 映射到 C³，其雅可比行列式恆等於 -2——非零常數，滿足猜想的前提條件。

總之，這個反例簡潔優雅到令人驚駭。任何一位學過大學微積分的大一新生，都可以透過求偏導數，算出這個三元多項式的雅可比行列式恆等於 -2。

If the prerequisite conditions are satisfied, is it reversible?

Fable 5 明確指出其非單射性——這個函數將空間中三個截然不同的點：(0, 0, -1/4)、(1, -3/2, 13/2) 和 (-1, 3/2, 13/2) 全部映射到同一個圖像點：(-1/4, 0, 0)。

既然三個不同的點指向了同一個結果，它自然不可能有逆函數。

Thus, the Jacobi conjecture in the broad sense has been completely disproven.

一個87年的猜想，就這樣被AI「隨手」破解了。

在社交媒體上，震撼的數學教授和研究生們紛紛驗證這個反例。

有人使用 Wolfram Alpha 快速核驗，發現結果完全正確。

但這個反例的特殊之處恰恰在於，它是自證的：它簡潔到可以手算驗證，優雅和精確性令人嘆服。

加州大學柏克萊分校電腦科學／統計學副教授、前 Google DeepMind 研究科學家 Jason Lee 直呼：「Math is solved.」

不久後，GPT-5.6 迅速對這一結果進行了分析，並提出了一套全新的、修正後的猜想：「一個常數雅可比多項式的局部雙全純映射，如果在無窮遠處沒有葉數損失，那麼它就是一個自同構。」

OpenAI 的 Aaron Lou 使用內部 Codex（無網路搜尋）從零推導出本質相同的反例，完整寫出策略與證明，並提供可重現的數學推導（從三次因式分解到仿射座標變換）。

它不僅找到了反例背後的結構性機制，還指導人類如何重新定義這個問題。

This proves that AI possesses genuine mathematical creativity, not just superficial imitation.

數學家 Lichtman 惊呼，希望能看到頂尖代數學家對 GPT 提出的新猜想有何反應。

完整的推導過程如下：

https://aaronlou.com/jacobian_counterexample_derivation.pdf

數據科學家 Cal Aldred 更是利用 Fable + GPT 5.6 Sol 提出了一種生成無限多反例的方法！

張益唐被偷走的七年

但這個故事最令人唏噓的部分，跟張益唐有關。

所有人都記得，這個在賽百味打工的數學天才的故事。

張益唐因在孿生質數猜想上的突破性貢獻而名震全球，但在此之前的幾十年裡，他的經歷堪稱學術界悲劇。

在1990年代初，張益唐在普渡大學攻讀博士學位，導師是莫宗堅。莫宗堅堅信雅可比猜想的正確性，並讓張益唐以此作為博士論文課題。

Mo Zongjian gave Zhang Yitang a “lemma”—a mathematical proposition believed to be true—as a foundation for his research. Zhang Yitang pursued this line of inquiry deeply, even claiming in his doctoral thesis to have solved the weak form of the conjecture.

然而，命運開了一個殘酷的玩笑。

經過同行排查，張益唐證明中所使用的那條關鍵引理被證明是錯誤的。而這條引理，恰恰源自導師莫宗堅本人先前發表的學術成果。