ای آئی نے 70 سال پرانی احتمالی نظریہ کے "ہولی گریل" کے خیال کو حل کر دیا

30 اگست، 2026 کو، احتمال نظریہ کے ماہر، 2022 کے فیلڈز انعام یافتہ ہیوگو ڈومینیل-کوپن نے تھوڑی سی اداسی کے ساتھ لکھا:

ہمارے شعبے میں سب سے مشہور حدس، ڈھاڈھی (AI) کی گرج کے نیچے گر جانا صرف ایک وقت کا سوال ہے۔

وہ ریاضی کے دنیا میں پچاس سالوں کی احتمالی نظریہ کا "سینٹ گریل" مسئلہ بات کر رہا ہے — جسے تسلسل کے مرحلے کا تخمن کہا جاتا ہے۔

تخمنہ)۔

اس سوال پر، اس فیلڈز انعام یافتہ نے سالوں کی محنت لگائی اور بار بار ناکامی کے باوجود جاری رہا۔

لیکن سب کے لیے جو کبھی توقع نہیں کیا گیا تھا: حقیقت کا منظر، پیشگوئی سے بھی جادوئی تھا۔

اس کے مضمون جاری ہوتے ہی، ساتھیوں نے گٹھبب پر اینتھروپک انجینئرز کے ذریعہ تازہ جمع کیا گیا کوڈ ریپوزٹری دریافت کر لیا۔

کوئی پریس کانفرنس نہیں، کوئی بڑا سارا ویب وائیڈ مارکیٹنگ نہیں، اور نہ ہی آفیشل بلاگ پر ایک پوسٹ ڈالی گئی۔

وہاں لیٹا ہوا ایک مکمل کوڈ ہے جو بڑے زبانی ماڈل Claude نے خودکار طور پر تیار کیا ہے اور ریاضیاتی فارمولیشن زبان Lean نے سختی سے تصدیق کی ہے — وہ فیلڈز انعام یافتہ کے لیے سالوں تک حل نہ ہونے والی پریمیشن کا اندازہ، AI نے ثابت کر دیا ہے۔

خبر پھیل گئی، عالمی ریاضی کی دنیا فوراً ہل گئی۔

جرمنی کے براؤنشویگ ٹیکنالوجی یونیورسٹی کے ریاضی دان بینڈکٹ یاہنل نے انٹرویو میں کہا:

اگر کوئی انسان اس حدس کا ثبوت پیش کرتا، تو وہ بہت زیادہ امکان ہے کہ فیلڈز میڈل جیت لے۔ لیکن اب، AI نے فین لائن پار کر دی ہے۔

AI نے مشین ثبوت کو میز پر رکھ دیا ہے۔

ریاضیدان گل کالائی کہتے ہیں: "اگر تصدیق ہو جائے، تو یہ ایک ناقابلِ یقین کامیابی ہوگی۔"

پیمانے کی نظریہ میں مسلسل فاز کے تبدیلی کا خیال، احتمالیہ کا "سینٹ گریل" کہلاتا ہے۔

1957ء میں ریاضیدان سائمن برودبینٹ اور جان ہیمرلی نے ایک بہت عام لیکن بہت گہرا فزیکل ظاہر ہونے والا مسئلہ سوچا: پانی کس طرح ایک منفذ سفنگ کے ذریعے گزرتا ہے؟

آپ اسے کافی بنانے یا نفٹ کے زمینی طبقات کی شکافوں میں نمٹنے کی طرح سمجھ سکتے ہیں:

فرض کریں کہ ایک بہت بڑا جال ہے جس کے ہر تقاطع پر چھوٹی نالیاں جڑی ہوئی ہیں۔ ہر نالی کے چلنے کا احتمال p ہے اور اس کے بند ہونے کا احتمال 1-p ہے۔

اگر p بہت چھوٹا ہو، جیسے صرف 0.1، تو نلکیاں زیادہ تر بند ہو جائیں گی، اور قطرے صرف کچھ دیر کے لیے داخل ہو کر رک جائیں گے اور کبھی بھی مکمل اسپنج کو نہیں چھو سکیں گے؛ اگر p بہت بڑا ہو، جیسے 0.9 تک پہنچ جائے، تو نلکیاں سب جگہ سے جُڑ جائیں گی، اور پانی لاپرواہی کے ساتھ بہے گا اور لا محدود نیٹ ورک میں ایک مسلسل سمندر بن جائے گا۔

ریاضی کے لحاظ سے، "مقامی بوند" سے "لا محدود متصلا شبکہ" تک کی جادوئی حد کو انتہائی احتمال کہا جاتا ہے۔

یہ ایک فاز تبدیلی ہے، جیسے کہ معیاری جوہری دباؤ پر پانی 0 درجہ سینٹی گریڈ تک ٹھنڈا ہونے پر برف بن جاتا ہے۔

حد سے نیچے، بے حد جُڑی ہوئی بہاؤ کی احتمال

بالکل 0؛ انتہائی حد سے زیادہ،

تو 0 سے زیادہ ہے۔

تو، ایک ایسا "صدمہ سوال" پیدا ہوا جس کا خواب ہر احتمالیات کے ماہر کو دیکھتا ہے:

بالکل حدی نقطہ پر، نظام کے اندر ایک لامتناہی بڑا جڑا ہوا نیٹ ورک تشکیل پا سکتا ہے؟ دوسرے الفاظ میں،

کیا یہ بالکل صفر کے برابر ہے؟

اگر

=0 کا مطلب ہے کہ یہ فاز کا تبدیلی بہت نرم اور مسلسل ہے، جیسے صبح کا دھند آہستہ آہستہ بارش میں بدل جائے؛ اگر یہ 0 سے زیادہ ہے، تو اس کا مطلب ہے کہ نظام حدی نقطے پر اچانک تبدیل ہو جائے گا، اور ایک لامحدود بہاؤ جو پورے کائنات کو جوڑ دے، اچانک پیدا ہو جائے گا۔

یہ سادہ سا فرضیہ احتمالیات کا "سینٹ گریل" ہے—

=0 اندازہ۔

اس پہیل کو حل کرنے کے لیے، نیم صدی تک ریاضیدانوں نے لگاتار کوشش کی۔

1980ء میں ریاضیدان ہری کیسٹن نے ثابت کیا کہ دو بعدی مربع نیٹ ورک میں تناظری احتمال بالکل 1/2 ہے، اور

=0۔

یہ اسے ریاضی کی تاریخ میں ایک ماہر کی حیثیت دیتا ہے۔

超高 ڈائیمنشن (11 یا اس سے زیادہ) میں، ہر نوڈ کے پاس بے شمار پڑوسی ہوتے ہیں، جہاں ریاضیدان احصائی اوسط اور "میان فیلڈ تھیوری" جیسے اوزاروں کا استعمال کرکے مسئلہ کو جبری طور پر سادہ بناسکتے ہیں۔

کئی سالوں پہلے ہی ماہرین نے ثابت کر دیا تھا کہ 11 یا اس سے زیادہ ڈیمنشنز والے فضا میں فاز کا تبدیلی بھی مسلسل ہوتا ہے۔

لیکن، اصل خواب دیکھنے والا درمیان میں رہ گیا—3 ڈی سے 10 ڈی تک کا سپیس گرڈ۔

یہاں دو بعدی سطح کی خاص جیومیٹرک سمتیہ نہیں ہے، اور اعلی بعد کے احصائی نرمی کے اوزار بھی لاگو نہیں کیے جا سکتے، بعد اور بعد کے درمیان ٹوپولوجیکل الجھن بہت پیچیدہ اور بے ترتیب ہے۔

تین ڈی ہمارے زندگی کا حقیقی کائنات ہے، چار ڈی نسبیت کا زمانہ-فضا ہے، اور ان سب سے اہم ڈیمنشنز، جو انسانی ریاضیدانوں کے لیے دہائیوں تک عبور نہیں کی جا سکی "خموشی کی دیوار" بن گئیں۔

کئی دہائیوں تک، لاکھوں عالِمین نے اپنا جوانی کا وقت بروئے کار لایا، لیکن آخرکار صرف کھاک پر ایک آہ کے سوا کچھ نہیں چھوڑ سکے۔

فیلڈز میڈل وصول کنندہ ہیوگو ڈومینیل-کوپن، یہیں ان "دیواروں سے ٹکرانے والوں" میں سب سے مشہور ہیں۔

2022 میں، ڈومینیل-کوپن نے احصائی فزکس کے فاز تبدیلی کے شعبے میں انقلابی کام کے لیے ریاضی کے سب سے اعلیٰ اعزاز فیلڈز میڈل حاصل کیا، اور ان کا علمی سفر تقریباً نفاذ کے نظریے کے ساتھ جڑا ہوا رہا۔

وہ اس حد تک اس خیال سے محبت کرتا ہے جیسے وہ اس پر مبتلا ہو۔

8 اگست کے ایک بلاگ میں، ڈومینیل-کوپن نے بہت خوبصورت ادبی انداز میں لکھا:

ایک ریاضی کا مسئلہ صرف ایک ثابت کرنے کا انتظار کرنے والا نظریہ نہیں ہوتا۔ یہ صرف ایک رات کے اندھیرے میں ایک ٹاور نہیں، بلکہ ایک روح کا مربی بھی ہے۔

اسے حل کرنا شاید فوراً ایک نیا ریاضی کا شعبہ نہیں کھولے گا، لیکن اس کی گہرائی اور خوبصورتی کافی ہے کہ نسل در نسل اس سے متاثر ہوں۔

دومینیل-کوپن نے ایک جذباتی طور پر بیان کیا کہ جب وہ متعدد بار 3 سے 10 ڈیمانشنز میں مسلسل فاز ٹرانزیشن کے مسئلے کو حل کرنے کی کوشش کرتے رہے، تو ان کی لمبی لڑائی اور سفر کے دوران، وہ ناکام مسودات جو برباد لگ رہے تھے، نے دہائیوں کے غیر متوقع ابھراو کا باعث بنے۔

اس کے بعد وہ فیلڈز انعام جیتنے والے کام، بالکل اس مین ٹاسک کی ناکامی کے بعد نکلنے والے "موجودہ مصنوعات" تھے۔

انسانی ریاضی دانوں کی روایتی کہانی میں، عمل، نتیجے سے زیادہ مقدس ہے۔ چوٹی تک پہنچنے کے راستے میں، اچانک تبدیلی کا لمحہ، بے بسی کا احساس، اور رات دن کا خوبصورتی کا جذبہ ہوتا ہے۔ اس ناشناخت کے ساتھ لڑائی کو انسانی عقل کی عزت کا اعلیٰ ترین علامت سمجھا جاتا ہے۔

تاہم، اینتھرپک کے داخلہ نے اس رومانوی فلٹر کو مکمل طور پر الگ کر دیا۔

ثبوت جمع کرانے والے جسٹن لیڈر، ریاضی کے شعبے کے بزرگ نہیں ہیں، اور تخلیقی نظریہ کے دائرے میں بھی کوئی شہرت نہیں رکھتے۔ وہ Anthropic کے اندر ابھی تک شائع نہ ہونے والے اگلے نسل کے Claude ماڈل پر انحصار کرتے ہیں۔

ای آئی کو بے چینی کا احساس نہیں ہوتا اور نہ ہی اسے خوبصورتی کا مفہوم سمجھ آتا ہے۔

70 سال سے انسانوں کے لیے ایک چیلنج کے طور پر موجود اس بڑی رکاوٹ کے سامنے، AI ایک ڈویلر کی طرح ہے، جو تقریباً سانس روکنے والی منطقی اور فارمیل زبانوں کے ساتھ آگے بڑھ رہا ہے۔

میڈیا کے انٹرویو میں ریاضیدان بنیڈکٹ یاہنل نے کہا:

اس نتیجے نے میرے دل میں بہت پیچیدہ جذبات پیدا کر دیے۔

ایک طرف، اندازہ لگانے کا سچ ثابت ہو گیا، اور وہ ریاضیدان خوشی سے بھر گیا؛ لیکن دوسری طرف، ایک بڑا خالی پن اور ناامیدی کا جذبہ تھا، کیونکہ آخری گول AI نے لگایا۔

انسانوں نے نصف صدی تک دروازہ کھولنے کی انتظار کیا، جسے AI نے ایک کلید سے آسانی سے کھول دیا۔

بہت سے لوگ اس بات پر یقین کرتے ہیں کہ کیا AI بے شمار کمپیوٹنگ پاور کے ذریعے، ایک تصادفی طور پر، تمام ممکنہ صورتحال کو تجربہ کر کے کام کرتا ہے؟

جواب یہ ہے: بالکل نہیں۔ اگر صرف تھیوری کے ذریعے گنتی کی جائے، تو کائنات کے تباہ ہونے تک بھی ایک لامتناہی ڈائیمنشنل مسلسل خیال کو ثابت نہیں کیا جا سکتا۔

اس بار AI نے جو ظاہر کیا، وہ تقریباً خوفناک سطح کی اعلیٰ منطقی امتزاج اور عبوری استدلال کی صلاحیت ہے۔

اس بند دروازے کو کھولنا ممکن ہوا، اصل میں انسانیات دانوں نے ابتدائی مراحل میں آخری اینٹ رکھ دی تھی۔

2024ء میں، اسرائیل کے وائٹمن سائنسی ادارے کے گادی کوزما اور جارجیا ٹیکنالوجی انسٹی ٹیوٹ کے شاہف نیٹزان نے ایک بہت ہی نوٹھی تحقیقی تحریر شائع کی۔

لنک: https://arxiv.org/abs/2401.12397

دو ریاضیدانوں نے ثابت کیا کہ اگر ایک خاص، نسبتاً سادہ الجبرائی عدم مساوات کی تصدیق کی جا سکے، تو 3 سے 10 ڈیمانشنز کے لیے

گیسٹ کو خودکار طور پر قائم کر دیا جائے!

یہ تحقیقی مقالہ نے فوراً علمی دنیا کو کامیابی کی روشنی دکھائی۔

فینش لائن اب آنکھوں کے سامنے ہے، صرف اس آخری قدم کو عبور کرنا باقی ہے — اس خوفناک عدم مساوات کا ثبوت دینا۔

تاہم، یہ آخری قدم ایک بڑی رکاوٹ بن گیا۔

ریاضیدانوں نے مددی فنکشنز کی تعمیر کرنے اور اوپری اور نیچلی حدود تلاش کرنے کی کوشش کی، لیکن یہ نامساوات ایک لپٹی ہوئی ایلچی کی طرح تھی، جو استدلال کے اہم نقطوں پر ہمیشہ انوکھے انہماک کا سبب بنتی تھی۔

اینٹروپک کے ماڈل، جہاں یہ مہلک کارروائی مکمل ہوئی۔

اس نے الگ سے شروع نہیں کیا، بلکہ 2024 میں گادی کوزما اور شاہف نیتسان نے تعمیر کیا ہوا پلیٹ فارم بہت ہوشیاری سے استعمال کیا۔

بڑے ماڈل نے لین ثبوت مددگار کی سخت پابندیوں کے تحت، انسانوں کے جانے ہوئے بہت سارے تحلیلی اوزار اور نا برابری کے تقنيات کو استعمال کیا، اور ایک ایسی ہنر مند راہ کے ذریعے جو کبھی کسی انسانی ریاضیدان نے سوچی نہیں تھی، فارملائزڈ کوڈ کی بنیاد پر ہزاروں لائنوں کا ایک منطقی حلقہ تعمیر کیا، جس نے اس نا برابری کو "دبانے" کے لیے سیدھا گرفت کر لیا۔

پینسلوانیا یونیورسٹی کے ریاضیدان احمد بورابی نے اعلان کیا کہ اینتھروپک نے اس فیلڈز انعام کے لیے قابلِ اعتبار حدس کو ثابت کر دیا ہے۔

احمد بورابی کے لیے زیادہ حیران کن بات یہ تھی کہ بعد میں ترقی کی رفتار کتنی تیز تھی۔

احمد بورابی نے بڑے ماڈل کی مدد سے صرف ایک دن میں اینتھروپک کے ثبوت کوڈ کو عام اور تبدیل کر دیا۔

"ای آئی نے مجھے ایسی چیزیں کرنے کی اجازت دی جن کے بارے میں میں پہلے سوچ بھی نہیں سکتا تھا،" احمد بوعرابی کہتے ہیں، "کچھ تحقیقی منصوبوں پر میں نے پورے آٹھ سال محنت کی، لیکن تقریباً کوئی پیش رفت نہیں ہوئی، لیکن ای آئی کی مدد سے، میں اب مکمل حل تک صرف ایک قدم دور ہوں۔"

لیکن اسی دوران، اصل مصنف پروفیسر کوزما بہت محتاط یا حتیٰ کہ بے حس نظر آ رہے ہیں۔

سب کے سوالات کے جواب میں، اس نے پرسکون طور پر کہا:

میں ان کے دعووں پر ابھی تک کوئی تبصرہ نہیں کروں گا۔

ہم ابھی تک اینتھرپک کی طرف سے ایک "انسان کے لیے قابل فہم ورژن" جاری ہونے کا انتظار کر رہے ہیں، اور یہ سمجھنے کی کوشش کر رہے ہیں کہ وہ بالآخر کیسے یہ کر پائے۔

جب بھاپ کی ماشین درست کی گئی تو ڈرائیوروں نے سمجھا کہ گاڑی چلانے کی فن کا خاتمہ ہو گیا؛ جب فوٹوگرافی پیدا ہوئی تو ریلیزم کے مصوروں نے اس بات کا اظہار کیا کہ فن مر گیا ہے؛ جب دیپ بلو نے کاسپاروف کو شکست دی اور الفاگو نے کو جیہ کو مکمل طور پر شکست دی، پوری دنیا نے گو بان کے لیے رونا شروع کر دیا۔

لیکن کیا گو کی موت ہو گئی؟ نہیں۔

انسانی شطرنج کھلاڑی، ہاں، اب AI کو شکست نہیں دے سکتے، لیکن وہ AI کے نقطہ نظر سے ایسے نئے ابتدائی حرکات دیکھ پائے جن کا انہوں نے سوائے ہزاروں سالوں سے کبھی خیال بھی نہیں کیا تھا، اور شطرنج کے بورڈ کی ابعاد لامتناہی طور پر وسعت پا گئیں۔

ریاضی بھی اسی طرح ہے۔ جیسا کہ ڈومینل-کوپن نے اپنے تفکر میں مشترکہ طور پر سمجھا: تھیورم کا ثبوت دینا، ریاضی کا صرف ایک حصہ نہیں ہے۔

انسانی ریاضی کی تاریخ میں، فرضیہ کی خوبصورتی اکثر "نتیجہ ثابت کرنے" میں نہیں، بلکہ فرضیہ کو حل کرتے وقت پیدا ہونے والے مکمل اوزار کی انقلابی ترقی میں ہوتی ہے—

فیرما کے آخری نظریہ کے ثبوت کے لیے، انسانوں نے الجبرائی جیومیٹری کا عظیم منظر تخلیق کیا؛ اور ریمان کے خیال کے ثبوت کی کوشش کے لیے، تحلیلی نظریہ اعداد کا عظیم مینار تعمیر کیا گیا۔

دومینیل-کوپن نے خود کئی سالوں تک پیرامیٹر تھیوری پر کام کیا لیکن ناکام رہے، لیکن جیسا کہ اس نے کہا: "ان ناکام کوششوں نے دہائیوں نئے خیالات پیدا کیے، جنہیں میں نے دوسرے شعبوں میں استعمال کیا اور میں نے ایسے بڑے ایکسپلوریشن حاصل کیے جن کا میں نے کبھی خواب میں بھی تصور نہیں کیا تھا۔"

مستقبل کے ریاضیدان، شاید اب اپنی اہم توجہ لمبے دہائیوں تک جبری الجبرا کے استنباط پر نہیں ڈالیں گے۔ سب سے زیادہ قیمتی تحقیقی راستوں کا انتخاب کرنا، ہزاروں استدلالی ایجینٹس کو ناگہانیت کی طرف بھیجنا، اور مشینوں کے ذریعے واپس لائے گئے عقلی ٹکڑوں کو انسانی دنیا کو سمجھانا، نئی نسل کے ماہرین کا نیا فرض بن سکتا ہے۔

ائنسٹائن نے کہا تھا:

انسان کے لیے جو سب سے خوبصورت اور گہرا جذبہ ہو سکتا ہے، وہ راز کا احساس ہے۔ یہ تمام حقیقی فن اور سائنس کا ذریعہ ہے۔

1957 کی اس سادہ فرضیہ سے لے کر 2026 تک جب AI نے GitHub پر ایک ہی تلوار سے ختم کر دیا، انسان نے 70 سال میں اپنی عظمت ثابت کی اور ذہنی شکل کی منتقلی کو دیکھا۔

حوالہ جات:

https://www.quantamagazine.org/updates/transformation/

https://www.scientificamerican.com/article/ai-solves-a-holy-grail-problem-from-probability-theory/

https://proofsandprompts.com/2026/08/30/care-for-a-little-more-ai/

https://github.com/anthropics/formal-math/tree/795efb86f191735c5481675763537cfb4ff37e55/percolation

ایڈیٹ: دیوڈ

یہ مضمون ویچن گروپ "نیوزی ایون" (ID: AI_era) سے ہے، مصنف: ASI启示录