a16z نے Lattice Jolt لانچ کیا: پوسٹ-کوانتم سیکیورٹی کے ساتھ 3x تیز ثبوت

لکھنے والے: a16z crypto

ترجمہ: شن چاؤ ٹیکفلو

شین چاؤ کا خلاصہ: zkVM کو ہمیشہ یہ شکایت کی جاتی رہی ہے کہ اس کے ثبوت بہت سستے اور بہت بڑے ہوتے ہیں، لیکن a16z نے اس بار ایلیپٹک کریو کی جگہ لیٹیس کرپٹوگرافی استعمال کی ہے، جس سے ثبوت کی رفتار تین گنا بڑھ گئی اور ثبوت کا سائز 100KB سے کم ہو گیا۔ یہ موجودہ دور کا واحد ایسا پوسٹ-کوانٹم حل ہے جو روایتی ایلیپٹک کریو سchemes کو رفتار میں شکست دے سکتا ہے، جس کا تصدیق کرنے اور بلاکچین پر چڑھانے کے اخراجات اور خفیہ درخواستوں پر ب без تاثر ہے۔

آج ہم Lattice Jolt کا باضابطہ اطلاق کر رہے ہیں، جو ہمارے اوپن سورس zkVM (زیرو کنوزچر ورچوئل میشین) کا نیا ترین ورژن ہے۔ Jolt پہلے سے ہی سب سے تیز اور سب سے آسان zkVM تھا، اور اس کی ساخت وہی رہی۔ لیکن بنیادی کرپٹوگرافی بدل گئی ہے: ایلیپٹک کریو کی جگہ لیٹس کرپٹوگرافی استعمال کی گئی ہے۔ اس ایک تبدیلی سے تین باتیں ایک ساتھ حاصل ہو رہی ہیں:

• Jolt کو پوسٹ-کوانتم محفوظ بنایا جاتا ہے۔
• پروور اور ویریفائر کی رفتار 2-3 گنا بڑھ گئی۔
• لیٹس جولٹ تمام پوسٹ-کوانتم zkVM میں سب سے مختصر ثبوت فراہم کرتا ہے: ابھی 100 KB سے کم، اور مزید کمپریس کیا جا سکتا ہے۔ ثبوت کو بلاکچین پر اپ لوڈ کیا جاتا ہے اور نیٹ ورکس کے درمیان منتقل کیا جاتا ہے، جتنا چھوٹا ثبوت ہوگا، اس کی تصدیق کا خرچ اتنا ہی کم ہوگا۔

یہ خصوصیات zkVM کے تمام استعمال کے مناظر کو کور کرتی ہیں۔ ایک ہی prover، GPU پر اربوں CPU سائکلز کو اور موبائل فون پر لاکھوں سائکلز کو ثابت کر سکتا ہے۔ دونوں صورتوں میں ڈیولپر عام پروگرام لکھتے ہیں، بغیر کسی خاص علم کے ضرورت والے سرکٹس کو ہاتھ سے لکھے۔ یہی وجہ ہے کہ ہم کہتے ہیں کہ Jolt ایک "یونیورسل SNARK" ہے۔

لیکن بڑا خبر یہ ہے کہ Lattice Jolt SNARK ڈیزائن اور اپنائے کے لیے کیا سمجھتا ہے۔ موجودہ مارکیٹ میں تقریباً تمام تجارتی طور پر استعمال ہونے والے پوسٹ-کوانتم SNARKs ہیش پر مبنی ہیں۔ Lattice Jolt نے ثابت کیا ہے کہ لیٹس پر مبنی SNARKs زیادہ تیز اور زیادہ کمپیکٹ ہو سکتے ہیں۔ ڈیجیٹل دستخط بھی اسی تبدیلی سے گزر رہے ہیں: ہیش اسکیم محتاط منتخب کرنا ہے، لیکن لیٹس اسکیم وہ ہیں جن کو دنیا بڑے پیمانے پر لاگو کر رہی ہے۔ ہم توقع کرتے ہیں کہ SNARKs بھی اس راستے پر چلیں گے، اور اس بلاگ پوسٹ کا دوسرا حصہ اس کی وضاحت کرے گا۔

جولٹ کے پچھلے پولی نومیل کمٹمنٹ اسکیم کا نام ڈوری تھا، جو پورے سسٹم کا واحد ایلیپٹک کریو کرپٹوگرافی پر منحصر کمپوننٹ تھا۔ لیٹس جولٹ نے ڈوری کو اکیٹا سے تبدیل کر دیا ہے، جو مڈیول-ایس آئی ایس لیٹس فرض پر مبنی ایک نیا پولی نومیل کمٹمنٹ اسکیم ہے۔ لیٹس جولٹ اس معیاری، اچھی طرح سے تحقیق شدہ فرض پر مبنی ہے اور مکمل 128 بٹ سیکورٹی کے مطابق ہے۔

ماڈیول-SIS اور اس کا بھائی ماڈیول-LWE ایک ہی فیملی کے فرضیات ہیں، جن کی طرف دنیا کی ڈیجیٹل انفراسٹرکچر منتقل ہو رہی ہے۔ یہ فرضیات نہ صرف ڈیجیٹل سائنچر معیار ML-DSA کو بنیاد بنا رہے ہیں، بلکہ کلید تعمیر کے معیار ML-KEM کو بھی بنیاد بنا رہے ہیں، جو عالمی سطح پر سب سے زیادہ استعمال ہونے والا پوسٹ کوانٹم پریمیٹ ہے۔

اکیتا کے ترقی اور عملدرآمد کی قیادت لیئر زیرو کے محققین اور انجینئرز نے کی، جس میں کارنیگی میلون یونیورسٹی، جنوبی کیلیفورنیا یونیورسٹی کے محققین اور ہماری a16z crypto کی انجینئرنگ اور تحقیق ٹیم شامل ہیں۔

لیٹیس جولٹ صرف پسٹ-کوانتم سیکیور نہیں ہے، بلکہ یہ جس ایلیپٹک کریو کو تبدیل کرتا ہے اس سے تیز ہے۔

تیزی کا بنیادی سبب ایک آسان وجوہ ہے۔ ایلیپٹک کریو ن Jolt کو 256 بٹ کے فیلڈ پر کام کرنے پر مجبور کرتی ہے، جبکہ لیٹس کرپٹوگرافی 128 بٹ کے فیلڈ پر اسی سطح کی حفاظت حاصل کر سکتی ہے۔ Jolt prover کا اہم کام فیلڈ عنصر کی ضرب (جو بنیادی طور پر بہت بڑی اعداد کی ضرب ہوتی ہے) ہے، اس لیے اگر اعداد کا سائز آدھا کر دیا جائے، تو ہر ضرب تین گنا تیز ہو جاتی ہے۔

ڈوری کے ساتھ جولٹ پہلے سے ہی تیز تھا: ہماری پچھلی پرفارمنس اپڈیٹ نے دکھایا کہ جولٹ لیپ ٹاپ پر فی سیکنڈ تقریباً 7 لاکھ RISC-V (RV64IMAC) سائکلز ثابت کرتا ہے، اور بعد کے آپٹیمائزیشنز نے جولٹ کی کریوی ورژن کو فی سیکنڈ 10 لاکھ سائکلز سے آگے بڑھا دیا۔

لیٹس جولٹ ایک ہی مشین پر فی سیکنڈ 2 ملین سے زیادہ سائکلز کا ثبوت دے سکتا ہے۔

گزشتہ ست ماہ کے زیادہ تر حصے میں، ہم نے صرف اکیتا کو ترقی دینے اور جولٹ میں اندراج کرنے کے علاوہ جولٹ کوڈ بیس کو دوبارہ لکھا۔ جولٹ پہلے سے ہی GPU پر اچھی طرح چل رہا تھا، لیکن اس دوبارہ لکھنے سے GPU ایمپلیمنٹیشن بنانا اور بہتر بنانا آسان ہو گیا۔

پہلا نتیجہ Apple Metal ایمپلیمنٹیشن ہے، جس نے ایپل ہارڈویئر کو بڑی حد تک تیز کر دیا ہے۔ (Metal ایپل کا فریم ورک ہے جو MacBook اور iPhone جیسے ڈیوائسز پر موجود GPU پر کوڈ کو انجام دینے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔)

• GPU تیز کیا گیا Lattice Jolt MacBook پر فی سیکنڈ 10 ملین سے زیادہ RV64IMAC سائکلز کا ثبوت دے سکتا ہے۔
• ایک ہی مشین پر صرف CPU کے ساتھ Lattice Jolt فی سیکنڈ 2 ملین سیکلز کا ثبوت دے سکتا ہے۔
• اب میٹل والے MacBook پر جولٹ کی کریوڈ ورژن بھی فی سیکنڈ تقریباً 4 ملین سائکل تک پہنچ گئی ہے۔

یعنی، ایک اپڈیٹ کے ساتھ، جولٹ کی MacBook پر رفتار لگभग 10 لاکھ سائکل فی سیکنڈ (کریو ورژن، صرف CPU) سے بڑھ کر 100 لاکھ سے زائد سائکل فی سیکنڈ (گرڈ ورژن، میٹل کے ساتھ) ہو گئی۔

ان اعداد کو بڑے پیمانے پر دیکھیں: چار سال پہلے جب ہم نے SNARK prover کی لاگت کے بارے میں پہلی بار لکھا، تو ایک حساب کا ثبوت دینا اسے براہ راست چلانے سے کئی ملین گنا مہنگا تھا۔ Lattice Jolt نے اس لاگت کو تقریباً ایک ہزار گنا تک کم کر دیا ہے۔ ابھی تک یہ آخری حد نہیں ہے، کیونکہ انجینئرنگ اور پروٹوکول کے لحاظ سے اب بھی بہتری کا سامنا ہے۔

ثبوت کا سائز اور پروور کی رفتار دونوں اہم ہیں۔ 100 KB سے کم، لیٹس جولٹ کے ثبوت دیگر پوسٹ-کوانتم zkVMs کے مقابلے میں کافی چھوٹے ہیں، جبکہ دیگر منصوبوں کے ثبوت 200 KB سے زیادہ سے لے کر تقریباً 600 KB یا اس سے زیادہ ہوتے ہیں۔

جولٹ کے بعد، جولٹ کا پہلے سے بہترین میموری استعمال مزید بہتر ہو گیا: پروور کا فضائی استعمال فی سائکل تقریباً 300 بائٹس سے گھٹ کر 200 بائٹس ہو گیا۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ آپ اپنے فون پر لاکھوں RISC-V سائکلز کا ثبوت دے سکتے ہیں۔

ایک متعلقہ تحقیقی مقالہ جلد جاری ہوگا جو Lattice Jolt کو صفر علمیت فراہم کرے گا، جو خفیہ اطلاقات کے لیے ضروری خصوصیت ہے۔

سالوں سے، SNARK کمیونٹی کی توجہ (اور تقریباً تمام پیداواری ڈپلویمنٹس) ہیش بنیادی SNARK پر مرکوز رہی ہے، جسے پوسٹ-کوانتم سیکورٹی کا راستہ سمجھا جاتا ہے۔

لیکن لابرادور، گریہاؤنڈ، لیٹیس فولڈ، سوپر نیو، اور اکیتا کے ب безرک ہاچی سمیت، ایک مستقل ایل جیٹ SNARK اور ایل جیٹ کمٹمنٹ تحقیق کی شاخ بھی قائم رہی۔ لیٹیس جولٹ اس تحقیق پر مبنی ہے، جو ایل جیٹ کمٹمنٹ لیئر کو اعلیٰ کارکردگی والے zkVM ڈھانچے میں شامل کرتا ہے، جبکہ ایل جیٹ بنیادی SNARK کی رفتار اور مختصریت میں کوئی مقابلہ نہیں ہے۔

یہ کوئی حیرانی کی بات نہیں ہے۔ جیسا کہ پہلے بیان کیا گیا، یہی نمونہ پہلے ہی ڈیجیٹل دستخط پر پایا گیا تھا۔

کرپٹوگرافر نے کئی فرضیات کے بنیاد پر دستخط تعمیر کیے ہیں۔ ہیش دستخط عام طور پر سب سے محتاط منتخبہ سمجھے جاتے ہیں: ان کی محفوظ فرضیات آسان اور پرانی ہیں۔ لیکن دنیا گرڈ دستخط کی طرف بڑھ رہی ہے کیونکہ وہ مختصر اور تیز ہیں:

• ML-DSA دستخط تقریباً کچھ KB ہوتے ہیں۔
• NIST معیاری شدہ ہیش متبادل SLH-DSA کافی بڑا ہے۔
• اینکرپشن اور کلید تبادلہ کے لیے صورتحال زیادہ واضح ہے: کوئی ہیش اسکیم دستیاب نہیں ہے (اس کی نا ممکن ہونے کا ثبوت ہے)، اور پوسٹ-کوانتم ڈیپلوئمنٹ زیادہ تر جالوں پر مبنی ہے۔ ML-KEM (NIST نے 2024 میں اسے بنیادی کلید تعمیر کا معیار قرار دیا) کو مین لائن براؤزرز اور مواصلات کے ایپس میں ڈیفالٹ طور پر لاگو کر دیا گیا ہے، اور ویب پر بہت سارے TLS کنکشنز میں استعمال ہو رہا ہے۔

SNARK اور دستخط کے درمیان تشبیہ صرف سطحی نہیں ہے۔ ڈیجیٹل دستخط بنیادی طور پر ایک اجازت دی گئی پیغام کے لیے نجی کلید کے علم کا ثبوت ہیں۔ SNARK اس نمونے کو ایک تنگ بیان سے کسی بھی حساب کتاب تک وسعت دیتا ہے۔ اس لیے اگر SNARK کا لمبے عرصے تک کرپٹوگرافک نقشہ دستخط اور اینکرپشن کے نقشہ سے بالکل مختلف نہ ہو تو حیرانی کی بات ہوگی۔

یہاں ایک غلط فہمی بھی ہے جسے واضح کیا جانا چاہیے: ہیش SNARK کو اکثر ایک محتاط پوسٹ-کوانتم منتخب کے طور پر بیان کیا جاتا ہے کیونکہ "یہ صرف ہیش فنکشن پر منحصر ہیں"۔ یہ صرف تب درست ہے جب بنیادی ہیش فنکشن غیر الجبرائی ہو۔

اب، زیادہ تر ہیش مبنی SNARK ڈیپلومنٹس SNARK دوست الجبرائی ہیش کنسٹرکشنز (جیسے Poseidon) پر انحصار کرتی ہیں تاکہ ہیش کو درست طریقے سے ایوان کرنے کا ثبوت کم لاگت پر دیا جا سکے۔ یہ ریکرسیو کے لیے خاص طور پر اہم ہے (جہاں ریکرسیو کا مطلب ہے کہ آپ اپنے پاس ایک درست SNARK ثبوت ہے اس کا ثبوت دیں)۔ یہ کنسٹرکشنز معیاری ہیش فنکشنز کے مقابلے میں زیادہ ساخت رکھتے ہیں اور ان کا کرپٹو اینالسز ابھی تک کم ترقی یافتہ ہے۔

مختصراً، ہم الجبری ہیش فنکشنز کی حفاظت پر اعتماد نہیں رکھتے۔ تاہم، ان کا استعمال اب بھی پیداواری SNARK سسٹمز میں وسیع پیمانے پر کیا جا رہا ہے۔ (تاہم، ایک ترقی کا اشارہ ہے: ایتھریم فاؤنڈیشن نے حال ہی میں ان کا استعمال چھوڑنے کا اعلان کیا ہے۔)

الجبری ہیش، ہیش مبنی SNARK کے لیے واحد چھپا ہوا فرضیہ نہیں ہے: بہت سے سسٹمز نے تاریخی طور پر مخصوص سیکیورٹی لیول کو مکمل ثابت شدہ حدود کے بجائے تجرباتی پراسیمیٹی-گیپ حدود کا استعمال کرتے ہوئے طے کیا ہے۔ ان میں سے کچھ مضبوط ترین حدود بعد میں غلط ثابت ہوئیں۔

اگرچہ فوق الذکر حدس کی بنیاد پر ہیش کے مطابق SNARK سے بچا جائے، تو ان کا معمولی حفاظتی مقصد عام طور پر 128 بٹ سے کم ہوتا ہے، کیونکہ مکمل 128 بٹ کی حفاظت سے قابلِ ذکر کارکردگی کا خرچ آتا ہے۔ کیوں؟ ہیش کے مطابق SNARK 128 بٹ کے فیلڈ پر 128 بٹ کی حفاظت حاصل نہیں کر سکتے، کیونکہ ان کی قابلِ اعتماد غلطی n/|F| کے مطابق سکیل ہوتی ہے، جہاں n ثابت کی جانے والی تجویز کے سائز کے تقریباً برابر ہے اور |F| فیلڈ کا سائز ہے۔ اس لیے 128 بٹ کے فیلڈ پر ارب قدم کی تجویز ثابت کرنے سے تقریباً 30 بٹ حفاظت کا نقصان ہوتا ہے، جس سے یہ 100 بٹ سے کم ہو جاتا ہے۔ مقابلہ میں، Lattice Jolt کی قابلِ اعتماد غلطی log(n)/|F| کے مطابق سکیل ہوتی ہے، جو اسی فیلڈ پر تقریباً مکمل 128 بٹ کی حفاظت برقرار رکھتی ہے (کچھ log(n) کا نقصان معیاری تکنیکوں سے واپس حاصل کیا جا سکتا ہے)۔

مزیدر، کچھ ایسے نظام جنہیں "محفوظ" پوسٹ-کوانتم حل کے طور پر پیش کیا گیا ہے، واقعی الجبرائی ہیش فنکشنز، تجسسی قربت-گیپ حدود، اور 128 بٹ سے کم مقصدی سیکیورٹی لیول پر منحصر ہیں۔ اس لیے، جبکہ ہیش کے مبنی SNARK ایک اہم راستہ ہیں، لیکن وہ خودبخود کئی لوگوں کے خیال میں کم خطرہ والے اختیارات نہیں ہیں۔

ہم ہمیشہ سے سمجھتے رہے ہیں کہ جولٹ کو صرف ایک منفرد کرپٹوگرافک بنیاد پر منحصر نہیں ہونا چاہیے۔ ہمیں کریو، ہیش اور لیٹس پر مبنی بالغ اور اعلیٰ کارکردگی والے SNARKs ہونے چاہئیں۔ مختلف فرضیات اور کارکردگی کے خصوصیات مختلف مناظر کے لیے مناسب ہوں گی۔

لیکن اگر ڈیجیٹل سائنچر کے حوالے سے دیکھا جائے، تو گرڈ کے مبنی SNARK کو سب سے زیادہ استعمال ہونے والا پوسٹ-کوانتم حل بن جائے گا۔

جولٹ اس تبدیلی میں ایک غیر معمولی فائدہ رکھتا ہے۔ اصل جولٹ ڈیزائن نے انڈرلائنگ ایلیپٹک کریو پیرز کا استعمال کیا جو کمٹمنٹس کے لیے خاص طور پر مفید ہیں، جیسے کہ اسپارس ویکٹرز کے لیے تیز کمٹمنٹس۔ لیٹس کمٹمنٹس میں بھی یہی خصوصیات ہیں: جب ویکٹر کے زیادہ تر ایلمنٹس صفر یا چھوٹے ہوں، تو ویکٹر کمٹمنٹ کا خرچ کم ہوتا ہے، اور جولٹ تقریباً صرف اس قسم کے ویکٹرز کے لیے کمٹمنٹس کرتا ہے۔ اس خصوصیت کی بدولت ہم Dory کو Akita سے تبدیل کر سکتے ہیں، جبکہ جولٹ کے باقی حصوں کو بغیر تبدیلی کے رکھ سکتے ہیں۔

ہم ہیش کی بنیاد پر Jolt کا ورژن تعمیر کریں گے۔ لیکن منحنی اور لیٹس کی بنیاد پر Jolt کے مقابلے میں، ہیش کی بنیاد پر ورژن فضائی کارآمدی میں کم ہے، ثبوت بڑے ہوتے ہیں، اور مختلف پیچیدگیوں کا سامنا کرتے ہیں۔ اس کا سبب یہ ہے کہ سب سے زیادہ وعدہ کرنے والے ہیش کی بنیاد پر SNARK کے کام دوئی نظام میں ہوتے ہیں۔ یہ عددی نظام ہیش کے اقدار کے ثبوت کے لیے آسان ہے، لیکن CPU کے حسابی طریقے سے مطابقت نہیں رکھتا۔ اس عدم مطابقت کی وجہ سے عام CPU ضرب کے ثبوت کو مہنگا بناتا ہے۔ تاہم، اس生态系统 میں ڈیجیٹل دستخط کے شعبے کی طرح، ہر اہم فرضیہ کے خاندان کے تحت ایک zkVM ہونا چاہیے۔

لیٹس جولٹ تعمیر کاروں کی تمام ضروریات کو ایک ہی جگہ پر پورا کرتا ہے: پوسٹ-کوانتم، شفاف، تیز، مختصر اور جگہ کے لحاظ سے کارآمد۔ یہ LaBRADOR سے لے کر Hachi تک کی گرڈ SNARK تحقیق کو پیداواری سطح کے zkVM میں لاتا ہے، جبکہ جولٹ کو تیز بنانے والی ابتدائی تمام ترجیحات کو نہیں چھوڑتا۔

ہمارا مقصد صرف سب سے زیادہ کارکردگی والے zkVM کو کسی بھی شخص کے استعمال کے لیے اوپن سورس بنانے تک محدود نہیں، بلکہ خاص اطلاقیات کے لیے SNARK کو ہاتھ سے ترتیب دینے کی ضرورت کو بھی کافی حد تک ختم کرنا ہے۔ اس کا مطلب یہ نہیں کہ Jolt کو ہاتھ سے ترتیب دیے گئے ثبوت سازوں کے برابر تیز ہونا چاہیے۔ یہ ایک ناممکن مقصد ہے، جیسے CPU کو ہر کام پر مخصوص ASIC کے برابر ہونے کی توقع کرنا۔ اس کا مطلب صرف یہ ہے کہ Jolt کافی تیز ہو تاکہ قابل قبول صارف تجربہ فراہم کیا جا سکے۔

گاہک ثبوت کے ساتھ متعلق "چھوٹے" جملوں کے لیے (جیسے کہ اب ہاتھ سے بہترین سرکٹس ان صورتوں میں غالب ہیں)، اہم معیار یہ ہے کہ ثبوت کو فون پر ایک سیکنڈ سے کم وقت میں تیار کیا جائے۔ جولٹ اس نقطے تک پہنچ چکا ہے، اور اب بھی کئی تیز کرنے کے طریقے منصوبہ بند ہیں۔

SNARK کے دور کا آغاز ہو چکا ہے۔

یہ مواد صرف معلوماتی مقاصد کے لیے ہے اور اس پر قانونی، تجارتی، سرمایہ کاری یا ٹیکس مشورے کے طور پر انحصار نہیں کیا جانا چاہیے۔ اس قسم کے معاملات کے لیے آپ کو اپنے مشیر سے رجوع کرنا چاہیے۔ ان سکیورٹیز یا ڈیجیٹل اثاثوں کا ذکر صرف مثال کے طور پر ہے اور یہ سرمایہ کاری کا مشورہ یا سرمایہ کاری مشیر کی خدمات کا آفر نہیں ہے۔ علاوہ ازیں، یہ مواد کسی بھی سرمایہ کار یا ممکنہ سرمایہ کار کے لیے نہیں ہے اور کسی بھی صورت میں a16z کے زیر انتظام کسی بھی فنڈ میں سرمایہ کاری کے فیصلے کے لیے استعمال نہیں کیا جا سکتا۔ (a16z کے فنڈز میں سرمایہ کاری کا آفر صرف اس فنڈ کے پرائیوٹ آفرنگ میمورنڈم، سبسکرپشن اگریمنٹ اور دیگر متعلقہ دستاویزات کے ذریعے کیا جاتا ہے، اور ان دستاویزات کو مکمل طور پر پڑھنا ضروری ہے۔) ذکر شدہ، حوالہ دیے گئے یا تفصیل سے بیان کردہ کوئی بھی سرمایہ کاری یا پورٹ فولیو کمپنی a16z کے زیر انتظام اوزاعوں میں تمام سرمایہ کاریوں کا نمائندگی نہیں کرتا، اور یہ ضمانت نہیں دی جا سکتی کہ ان سرمایہ کاریوں سے منافع حاصل ہوگا یا مستقبل میں دوسری سرمایہ کاریوں میں بھی اس طرح کے خصوصیات یا نتائج حاصل ہونگے۔ Andreessen Horowitz کے زیر انتظام فنڈز کے ذریعہ کردہ سرمایہ کاریوں کی فہرست (جس میں وہ سرمایہ کاریاں شامل نہیں جن کے لیے جاری کنندگان نے a16z کو علنی طور پر اطلاع دینے کی اجازت نہیں دی، اور علنی طور پر نہ بتائے گئے لسٹڈ ڈجٹل اثاثوں کی سرمایہ کاریاں) https://a16z.com/investments/ پر دسترس حاصل کی جا سکتی ہے۔

دی گئی گرافکس صرف حوالہ کے لیے ہیں اور کسی بھی سرمایہ کاری فیصلے کے لیے بنیاد نہیں ہونی چاہیے۔ ماضی کی کارکردگی مستقبل کے نتائج کی ضمانت نہیں دیتی۔ یہ مواد صرف مذکورہ تاریخ کی صورتحال کو ظاہر کرتا ہے۔ اس مواد میں بیان کردہ کوئی بھی پیشگوئی، تخمینہ، مستقبل کی تجاویز، مقاصد، آفاق اور/یا رائے بغیر کسی اطلاع کے کبھی بھی تبدیل ہو سکتی ہے اور دوسرے لوگوں کی رائے سے مختلف یا مخالف ہو سکتی ہے۔ مزید اہم معلومات کے لیے https://a16z.com/disclosures دیکھیں۔