اس دن پورے ریاضی کے دائرے میں زلزلہ آ گیا۔
ایک ایسا عظیم ریاضی کا مسئلہ جس نے لاکھوں عالِم ریاضیات کو شکست دی، چینی جنیئس ریاضی دان چانگ ییتان کو سات سال تک پریشان کیا اور اسے سب وے میں پلیٹ دھونے پر مجبور کر دیا — جیکوبی کا تخمنہ، Fable 5 نے انکار کر دیا!
گزشتہ کل شام، Anthropic کے تحقیقی محقق لیونٹ الپوگ نے ٹویٹ کیا:
ہیلو سب، جیکوبی کا خیال غلط ہے، میرے دوست اخیل کے اس سوال کے لیے شکریہ، اور میرے دوسرے دوست فیبل کے لیے شکریہ جو ورلڈ کپ فائنل کے دوران بھی کام کر رہے تھے۔
ٹیکسٹ کے نیچے، ایک سادہ ریاضی کا فارمولا ہے۔
87 سال پرانا ایک مرکزی ریاضی کا مسئلہ، فیبل 5 نے ایک اتوار کے شام کو آسانی سے حل کر دیا۔
یکوبی کا خیال بہت مشکل ہے۔ شاید انسانیت کو اسے حل کرنے کے لیے ایک سو سال اور لگ جائیں۔ آپ کی کوشش کو سراہا جاتا ہے، شاید کبھی نہ کبھی اوپیرس کے خدا آپ پر رحم کریں۔
جیکوبی کے خیال کو منسوخ کرنا صرف پہلا دومینو ہو سکتا ہے، جس کے بعد کئی دوسرے خیالات بھی منسوخ ہو سکتے ہیں۔
جیسے ریاضیدان جارڈ دوکر لائٹمن نے چیخ کر کہا: "یہ جدید ریاضی کی سب سے متاثر کن کہانیوں میں سے ایک ہے۔"
کہا جاتا ہے کہ میں نے کبھی سائنسی دنیا کا X اس قدر پاگل پن اور بڑے حیرانی کے ساتھ نہیں دیکھا ہے۔
اور اس کے پیچھے، زانگ ییتان کے چھوٹے ہو چکے سات سال ہیں۔
جیکوبی تخمن کیا ہے؟ ایک "خود متوجہ" جال
آئیے پہلے وقت کو 1939ء پر واپس لے جائیں۔ اس سال، جرمن ریاضیدان اوت-ہائینریش کیلر نے ایک سوال پیش کیا:
اگر ایک بہ پالی نومیل میپ کا جیکوبین ڈیٹرمننٹ ایک غیر صفر стали ہو، تو کیا یہ میپ ضروری طور پر ایک بہ پالی نومیل اُلٹ میپ رکھتا ہے؟
اصل میں، اس سوال کے پیچھے کا خیال بہت آسان ہے — حساب کتاب میں، اُلٹ فنکشن کا مسئلہ ہمیں بتاتا ہے کہ اگر کسی فنکشن کا جیکوبین ڈیٹرمننٹ کسی نقطے پر صفر نہیں ہے، تو اس نقطے کے قریب فنکشن کا مقامی اُلٹ وجود رکھتا ہے۔
جیکوبی تخمن یہ پوچھتا ہے کہ اگر یہ شرط ہر جگہ قائم ہو اور فنکشن ایک بہوں حدی تبدیلی ہو، تو کیا اُلٹی تبدیلی بھی ضروری طور پر ایک بہوں حدی ہونی چاہیے؟
یہ ایک مثالی “مقامی سے کلی” مسئلہ ہے، جو لگتا ہے کہ یہ بالکل درست ہونا چاہیے، لیکن دنیا کے سب سے ذہین دماغوں کو 87 سال تک پریشان رکھا۔
دو بعدی ورژن 1884 میں پیش کیا گیا تھا، جس کے ساتھ ایک ثبوت بھی دیا گیا تھا جس میں بعد میں خامی پائی گئی۔
ایک ہی مار کے ساتھ، AI نے مثالی ضد پیش کیا
یہ سوال معمولی لگتا ہے، لیکن یہ ایک حقیقی ریاضی کا بھرنا ہے۔ لاکھوں ریاضیدانوں نے اس حدس کے ثبوت کا دعویٰ کرتے ہوئے کئی مقالات شائع کیے، لیکن ان میں سے کوئی بھی نہیں ملا جس میں منطقی خامیاں نہ ہوں۔
اسی ہفتے تک، کلود فیبل 5 آ گیا۔
یہ انسانی سوچ کے مطابق ثابت نہیں کرتا، بلکہ فوراً تین بعدی فضا میں
ایک برعکس مثال دی گئی:
یہ پیچیدہ بہुحد کی نگاشت، جو C³ سے C³ تک ہے، اس کا جیکوبین ڈیٹرمننٹ مستقل طور پر -2 ہے — غیر صفر مستقل، جو کہ حدس کی پیشگوئی کی شرائط کو پورا کرتا ہے۔
بالاختصار، یہ ضد مثال حیرت انگیز طور پر مختصر اور شیواں ہے۔ کوئی بھی طالب علم جس نے یونیورسٹی کی کیلکولس کا ایک سالہ کورس مکمل کر لیا ہو، جزوی مشتق لے کر اس تین متغیر کے بہوں حدید کا یاکوبین ڈیٹرمننٹ مسلسل -2 کے برابر ہونے کا حساب لگا سکتا ہے۔
اگر فرضیہ کی پیشگوئی کی شرائط پوری ہو جائیں، تو کیا وہ معکوس ہو سکتا ہے؟
فیبل 5 سادہ اور واضح طور پر اس کی غیر اکیلی مطابقت کو ظاہر کرتا ہے — یہ فنکشن فضائے میں تین بالکل مختلف نقاط: (0, 0, -1/4)، (1, -3/2, 13/2) اور (-1, 3/2, 13/2) کو ایک ہی تصویر نقطہ: (-1/4, 0, 0) پر مپ کرتا ہے۔
چونکہ تین مختلف نقاط ایک ہی نتیجہ کی طرف اشارہ کرتے ہیں، اس لیے اس کا معکوس فنکشن نہیں ہو سکتا۔
اس طرح، جیکوبی کے خیال کو عام طور پر منسوخ کر دیا گیا۔
ایک 87 سال پرانا اندازہ، ایک AI نے صرف ایک ہاتھ کی حرکت سے حل کر دیا۔
سماجی میڈیا پر، حیرت انگیز ریاضی کے استاد اور طلبہ اس counterexample کی تصدیق کے لیے آپس میں مقابلہ کر رہے ہیں۔
کسی نے وولفرام الفا کا استعمال کرکے جلدی جانچ کی، جس سے پتہ چلا کہ نتائج بالکل درست ہیں۔
لیکن اس ضد مثال کی خاص بات یہ ہے کہ یہ خود کو ثابت کرتی ہے: یہ اتنا مختصر ہے کہ اسے ہاتھ سے حساب لگا کر تصدیق کیا جا سکتا ہے، اور اس کی خوبصورتی اور درستگی حیرت انگیز ہے۔
یو سی برکلی کے کمپیوٹر سائنس/احصاء کے ایسوسی ایٹ پروفیسر اور سابق گوگل ڈیپ مائنڈ ریسرچ سائنسٹ جیسن لی نے کہا: "ریاضی ختم ہو چکی ہے۔" (Math is solved.)
جلد ہی، GPT-5.6 نے اس نتیجے کا تجزیہ کیا اور ایک مکمل طور پر نیا، درست شدہ خیال پیش کیا: "اگر ایک مستقل جیکوبی بہوں حد تک ایک مقامی دوہری مُرَکّب نگاشت، لامتناہی پر پتے کی کوئی کمی نہ ہو، تو وہ ایک خود مُعادِل ہے۔"
اوپن اے آئی کے ایرن لو نے اندر کے کوڈیکس (بے ویب تلاش) کا استعمال کرتے ہوئے صفر سے اصلی طور پر ایکساکٹ مثال کا استنباط کیا، پالیسی اور ثبوت کو مکمل طور پر لکھا، اور قابل دہرائی ریاضیاتی استنباط (تینوں عوامل کے تقسیم سے لے کر فلکیاتی متناسق تبدیلی تک) فراہم کیا۔
اس نے صرف انتظامی مکینزم کو نہیں، بلکہ انسانوں کو اس مسئلے کو دوبارہ تعریف کرنے کی ہدایت بھی کی۔
یہ ثابت کرتا ہے کہ AI میں حقیقی ریاضیاتی تخلیقی صلاحیت موجود ہے، صرف سطحی نقل و حرکت نہیں۔
ریاضیدان لچٹمن نے حیرت سے کہا کہ وہ چاہتے ہیں کہ ٹاپ الجبرا کے ماہرین GPT کے نئے خیالات پر کیا رد عمل دیں۔
مکمل استدلال کا عمل درج ذیل ہے：
https://aaronlou.com/jacobian_counterexample_derivation.pdf
ڈیٹا سائنسٹ کیل الب ریڈ نے Fable + GPT 5.6 Sol کا استعمال کرتے ہوئے لا محدود متضاد مثالوں کے پیداواری طریقہ پیش کیا!
زhang ییتان کے چھ سال چوری ہو گئے
لیکن اس کہانی کا سب سے زیادہ دل دہلانے والا پہلو زہنگ ییتان سے متعلق ہے۔
سب کو یاد ہے، وہ ریاضی کا جادوگر جو سب وے میں کام کرتا تھا۔
جینگ ییتان، جنہیں جوڑے والے پرائم کے خیال پر ان کے انقلابی کام کی وجہ سے عالمی سطح پر مشہور کیا گیا، لیکن اس سے پہلے کے دہائیوں میں، ان کا تجربہ اکادمیک دنیا کے لیے ایک مصیبت تھا۔
1990 کی دہائی کے آغاز میں، جانگ ییتان نے پرڈو یونیورسٹی میں اپنا ڈاکٹریٹ کی ڈگری حاصل کی، جس کے سرپرست مو زونجین تھے۔ مو زونجین کو جیکوبی کے تخمن پر یقین تھا، اور انہوں نے جانگ ییتان کو اسی کو اپنا ڈاکٹریٹ کا تحقیقی موضوع بنانے کا حکم دیا۔
مو زونجیان نے چانگ ییتان کو ایک "لیما" دیا — ایک ایسا ریاضیاتی مفروضہ جو درست مانا جاتا تھا، جسے تحقیق کی بنیاد کے طور پر استعمال کیا جائے۔ چانگ ییتان نے اس راستے پر گہرا جا کر تحقیق کی، اور اپنے ڈاکٹریٹ کے مقالے میں ایک بار اس حدس کے کمزور شکل کو حل کرنے کا دعویٰ کیا۔
لیکن، قسمت نے ایک کریوٹ مزاح کھیلا۔
ہم نے دوسرے ماہرین کی جانچ کے بعد پایا کہ چانگ ییتانگ کے ثبوت میں استعمال کی جانے والی اہم لیما غلط ثابت ہو گئی ہے۔ اور یہی لیما، اس کے استاد مو زونجین کی پہلے سے شائع شدہ تحقیق سے ماخوذ تھی۔
اس نے کئی سالوں تک جو نظریہ تعمیر کیا تھا، اچانک پتہ چل گیا کہ اس کی بنیاد کچرا ہے۔ تمام کوششیں، تمام استدلالات، ایک دم گر گئے۔
مو زونجیان نے چانگ ییتان کا جائزہ لیتے ہوئے کہا کہ وہ الجبری جیومیٹری کے لیے مناسب نہیں ہیں، اور ان کے پی ایچ ڈی کے سالوں کو "اپنے ساتھ سات سال ضائع کرنے اور میرا وقت بھی ضائع کرنے" کے طور پر بیان کیا۔ اس سے زیادہ مہلک بات یہ تھی کہ مو زونجیان نے چانگ ییتان کے لیے تجویز نامہ نہیں لکھا۔
یہ ایک پرڈو یونیورسٹی کے ڈاکٹریٹ گریجویٹ کو اکیڈمک دنیا میں ایک قدم بھی آگے نہیں بڑھنے دیتا۔
زhang ییتان کو اکادمیک دنیا سے نکلنا پڑا اور وہ لمبے عرصے تک بے گھر رہا۔ اس نے مختلف مزدوری کے کام کیے، جن میں سب سے زیادہ مشہور سب وے ریسٹورنٹ میں سات سال تک کام کرنا تھا۔
2013 تک، 58 سالہ چینگ ییتان نے جوڑے والے اول عدد کے تخمن پر ایک انقلابی تحریر شائع کی، جس سے وہ ایک نامعلوم یونیورسٹی لیکچرر سے عالمی سطح پر مشہور ریاضیدان بن گئے۔
لیکن وہ ضائع ہو چکے سات سال کبھی بھی واپس نہیں آ سکتے۔
بعد میں، اس نے اپنے اس دور کے جذبات کو بیان کرنے کے لیے دو فو کے اشعار کا حوالہ دیا: "یو شن کی زندگی سب سے اکیلی تھی، اور بوڑھاپے میں اس کی شاعری نے ندیوں اور بندروں کو ہلا دیا۔"
مزید تہمس کی بات یہ ہے کہ 2018 میں، جب چانگ ییتان نے جوڑے والے اول عدد کے خیال کے لیے مشہوری حاصل کی، تو مو زونجین نے ایک خاص طور پر اضافی "یادداشت" شائع کی جس میں وہ چانگ کے خلاف مزید الزامات لگائے، لیکن اپنی ذمہ داری کو ابھی تک کم اہمیت دی۔
وہ جیکوبی کے تخمنے کی درستگی پر یقین رکھتا ہے، اور سوچتا ہے کہ AI جلد ہی ثبوت کے منطقی مسائل کو حل کرنے میں مدد کرے گا۔
آج، AI نے آسان مقابلہ فراہم کیا۔
بہت اداس بات ہے۔
بے شک، یہ واضح کرنا ضروری ہے کہ اس بار AI نے تین بعدی جیکوبی تخمن کو رد کیا ہے، جس کا مطلب ہے کہ "تمام ابعاد پر لاگو ہونے والا" عام ورژن مسترد ہو گیا ہے۔
زہنگ ییٹانگ نے اس وقت دو بعدی حالت پر تحقیق کی تھی، اور دو بعدی صرف تین بعدی کا آسان کم درجہ ورژن نہیں ہے — بالکل برعکس، دو بعدی اس مسئلے کا زیادہ مرکزی اور اب تک زیادہ مشکل حصہ ہے، جس کا ریاضیاتی معنی زیادہ ہے اور اب تک حل نہیں ہوا۔
لیکن اس واقعے کی شدت میں کوئی کمی نہیں آتی۔
فیلڈز انعام یافتہ تھامس گائور نے افسوس سے کہا: "2030 کا فیلڈز انعام شاید انسانوں کو دیا جانے والا آخری انعام ہو۔"
حوالہ جات:
https://x.com/search?q=Jared%20Duker%20Lichtman&src=typed_query
یہ مضمون ویچن گروپ "نیوزی یوآن" سے ہے، مصنف: ASI کا وحی، ایڈیٹر: داوڈ اینیئس