এই দিনটিতে সমগ্র গণিত জগত আতঙ্কিত হয়ে পড়ে।
অসংখ্য শীর্ষ গণিতবিদকে পরাজিত করেছে, চীনা প্রতিভাবান গণিতবিদ চাং ইয়েতাংকে সাত বছর ধরে কষ্ট দিয়েছে এবং সেই সময়ে সে সেবিস্ট এর প্লেট ধুতে বাধ্য হয়েছিল—এই অতিমহান গণিতের সমস্যা, জ্যাকোবি অনুমান, Fable 5 দ্বারা বাতিল করা হয়েছে!
গতকাল সন্ধ্যায়, Anthropic-এর গবেষক লেভেন্ট আলপোগে একটি টুইট পোস্ট করেন:
হ্যালো সবাই, জেকবি অনুমান ভুল, আমার বন্ধু আখিলের জন্য এই প্রশ্নটি করার জন্য ধন্যবাদ, এবং আমার অন্য বন্ধু ফেবলের জন্য বিশ্বকাপ ফাইনালের সময়ও কাজ করার জন্য ধন্যবাদ।
পাঠ্যের নিচে একটি সরল গাণিতিক সূত্র রয়েছে।
একটি ৮৭ বছর পুরনো মৌলিক গণিতের সমস্যা ফেবল ৫ একটি রবিবার সন্ধ্যায় সহজেই সমাধান করে ফেলেছে।
জেকবি অনুমানটি অত্যন্ত কঠিন। হয়তো মানবজাতির আরও একশো বছর লাগবে এটি সমাধান করতে। আপনার চেষ্টা প্রশংসনীয়, হয়তো একদিন অলিম্পাসের দেবতারা আপনার প্রতি অনুগ্রহ করবেন।
জেকবি অনুমানের বাতিলকরণ শুধুমাত্র পড়ে যাওয়া প্রথম ডোমিনো হতে পারে, অনেকগুলি অনুমান বাতিল হতে পারে।
গণিতবিদ জ্যারেড ডুকার লিকটম্যানের মতো চিৎকার করেছেন: "এটি আধুনিক গণিতের সবচেয়ে অনুপ্রেরণাদায়ক গল্পগুলির মধ্যে একটি।"
কেউ বলেছেন, আমি বিজ্ঞান সম্প্রদায়ের এক্সকে এখন যে অস্থির উত্তেজনা এবং বিশাল আশ্চর্যের মধ্যে দেখিনি।
এবং এর পিছনে রয়েছে জাং ইয়েতাংয়ের চুরি হয়ে যাওয়া সাত বছর।
জ্যাকবি অনুমান কী? একটি «স্বাভাবিক» ফাঁদ
চলুন প্রথমে সময় ফিরিয়ে নিই 1939 সালে। সেই বছর, জার্মান গণিতবিদ ওট-হাইনরিচ কেলার একটি প্রশ্ন তুলে ধরেন:
যদি একটি বহুপদী ম্যাপিংয়ের জ্যাকোবিয়ান নির্ণায়ক একটি অশূন্য ধ্রুবক হয়, তবে কি এই ম্যাপিংয়ের অবশ্যই একটি বহুপদী বিপরীত ম্যাপিং থাকবে?
বাস্তবে, এই প্রশ্নের পেছনের অনুভূতি খুব সহজ—ক্যালকুলাসে, বিপরীত ফাংশন থিওরেম বলে যে যদি কোনো ফাংশনের কোনো বিন্দুতে জ্যাকোবিয়ান ডিটারমিন্যান্ট শূন্য না হয়, তাহলে ঐ বিন্দুর আশপাশে ফাংশনটির স্থানীয় বিপরীত থাকে।
জেকবি অনুমানটি জিজ্ঞাসা করে: যদি এই শর্তটি সর্বত্র প্রযোজ্য হয় এবং ফাংশনটি একটি বহুপদী ম্যাপিং হয়, তবে বিপরীত ম্যাপিংটিও কি বহুপদী হতে হবে?
এটি একটি প্রতিনিধিত্বকারী "স্থানীয় থেকে বিশ্বব্যাপী" সমস্যা, যা প্রতীয়মান হয় যে এটি অবশ্যই সত্য হওয়া উচিত, কিন্তু বিশ্বের সবচেয়ে বুদ্ধিমান মস্তিষ্কগুলিকে 87 বছর ধরে বিভ্রান্ত করেছে।
1884 সালে দ্বিমাত্রিক সংস্করণটি প্রস্তাব করা হয়েছিল, যার সাথে একটি প্রমাণ ছিল যা পরে একটি দুর্বলতা আবিষ্কার করা হয়।
একটি হালকা আঘাতে, এআই একটি দিব্য বিপরীত উদাহরণ দেয়
এটি প্রতীয়মান হতে পারে সহজ, কিন্তু এটি একটি প্রকৃত গাণিতিক ব্ল্যাকহোল। অসংখ্য গণিতবিদ এই অনুমানের প্রমাণ করার দাবি করে অসংখ্য পেপার প্রকাশ করেছেন, কিন্তু সবগুলোরই যুক্তিতে ত্রুটি পাওয়া গেছে।
এই সপ্তাহান্তের আগে ক্লড ফেবল 5 চালু হয়েছে।
এটি মানুষের চিন্তাভাবনার দিকে এগিয়ে প্রমাণ করেনি, বরং সরাসরি ত্রিমাত্রিক স্থানে
একটি বিপরীত উদাহরণ দিয়েছে:
এই জটিল বহুপদী ম্যাপিংটি C³ থেকে C³-এ যায়, এর জ্যাকোবিয়ান নির্ণায়ক সর্বদা -2—একটি অশূন্য ধ্রুবক, যা অনুমানের পূর্বশর্তকে পূরণ করে।
সর্বোপরি, এই বিপরীত উদাহরণটি ভয়ঙ্করভাবে সংক্ষিপ্ত এবং সুন্দর। যে কোনও ডিগ্রি ক্যালকুলাস শিখেছে এমন প্রথম বর্ষের শিক্ষার্থী পার্শিয়াল ডেরিভেটিভ ব্যবহার করে এই ত্রিপদী বহুপদীর জ্যাকোবিয়ান নির্ণায়কের মান -2 হয় তা গণনা করতে পারবে।
যদি অনুমানের পূর্বশর্তগুলি পূরণ হয়, তবে এটি বিপরীতকরণযোগ্য কি?
ফেবল 5 সহজভাবে এর অ-ইনজেক্টিভ প্রকৃতি উল্লেখ করে—এই ফাংশনটি স্থানের তিনটি সম্পূর্ণ ভিন্ন বিন্দু: (0, 0, -1/4), (1, -3/2, 13/2) এবং (-1, 3/2, 13/2)-কে একই ছবি বিন্দু: (-1/4, 0, 0)-এ ম্যাপ করে।
যেহেতু তিনটি ভিন্ন বিন্দু একই ফলাফলের দিকে ইঙ্গিত করে, এটি প্রাকৃতিকভাবে বিপরীত ফাংশন রাখতে পারে না।
Thus, the Jacobi conjecture in the broad sense has been completely disproven.
একটি ৮৭ সালের অনুমান এখন এআই দ্বারা "সহজেই" সমাধান করা হয়েছে।
সোশ্যাল মিডিয়ায়, অসাধারণ গণিতের অধ্যাপক এবং গবেষক শিক্ষার্থীরা এই বিপরীত উদাহরণটি যাচাই করতে প্রতিযোগিতা করছেন।
কেউ ওলফ্রাম অ্যালফা ব্যবহার করে দ্রুত যাচাই করেছেন, এবং ফলাফল সম্পূর্ণরূপে সঠিক পাওয়া গেছে।
কিন্তু এই বিপরীত উদাহরণটির বিশেষত্ব হল এটি নিজেকেই প্রমাণ করে: এটি এতটাই সংক্ষিপ্ত যে হাতে গণনা করে প্রমাণ করা যায়, এর সৌন্দর্য এবং সূক্ষ্মতা অবাক করে দেয়।
ইউসি বার্কলির কম্পিউটার সায়েন্স/পরিসংখ্যানের সহকারী অধ্যাপক এবং পূর্বের গুগল ডিপমাইন্ড গবেষক জেসন লি সরাসরি বলেছেন: 'ম্যাথ ইজ সলভড।'
অল্প সময়ের মধ্যে, GPT-5.6 এই ফলাফলের বিশ্লেষণ করে একটি সম্পূর্ণ নতুন, সংশোধিত অনুমান প্রস্তাব করে: «একটি ধ্রুবক জ্যাকোবি বহুপদীর স্থানীয় দ্বি-বহুবর্ণীয় ম্যাপিং, যদি অসীম দূরত্বে কোনও পাতা হারানো না থাকে, তবে এটি একটি অটোমরফিজম।»
অ্যারন লু, ওপেনএআই-এর অন্তর্গত কোডেক্স (নেটওয়ার্ক অনুসন্ধান ছাড়া) ব্যবহার করে মূলত একই বিপরীত উদাহরণটি শূন্য থেকে প্রতিষ্ঠা করেন, পুরোপুরি কৌশল ও প্রমাণ লিখেন, এবং পুনরুৎপাদনযোগ্য গাণিতিক প্রতিষ্ঠা (ত্রিঘাত উৎপাদকে বিশ্লেষণ থেকে অফিন স্থানাঙ্ক রূপান্তর পর্যন্ত) প্রদান করেন।
এটি শুধু বিপরীত উদাহরণের পেছনের কাঠামোগত কার্যপ্রণালী খুঁজে পায়নি, বরং মানুষকে এই সমস্যাটিকে পুনর্সংজ্ঞায়িত করতে সহায়তা করে।
এটি প্রমাণ করে যে, এআই শুধু পৃষ্ঠস্থ অনুকরণ নয়, বরং প্রকৃত গাণিতিক সৃজনশীলতা অর্জন করেছে।
গণিতবিদ লিক্টম্যান চিৎকার করে বলেছেন, তিনি চান যে শীর্ষ বীজগণিতবিদদের GPT-এর নতুন অনুমানের প্রতিক্রিয়া দেখতে পাবেন।
পূর্ণ প্রমাণ প্রক্রিয়া নিম্নরূপ:
https://aaronlou.com/jacobian_counterexample_derivation.pdf
ডেটা সায়েন্টিস্ট ক্যাল অলড্রেড এমনকি Fable + GPT 5.6 Sol ব্যবহার করে অসীম সংখ্যক বিপরীত উদাহরণ তৈরির একটি পদ্ধতি প্রস্তাব করেছেন!
চাং ইয়ানের চুরি হওয়া সাত বছর
কিন্তু এই গল্পের সবচেয়ে বেশি মন ভাঙানো অংশটি চাং ইয়েতাং-এর সাথে সম্পর্কিত।
সবাই সেবিয়ে'স-এ কাজ করতেন এমন একজন গণিত প্রতিভার গল্প মনে রাখে।
জাং ইতাং, যিনি টুইন প্রাইম কনজেকচারে বিপ্লবী অবদানের জন্য বিশ্বব্যাপী পরিচিত, কিন্তু সেই আগের কয়েক দশকে তাঁর অভিজ্ঞতা শিক্ষাগত জগতের একটি দুঃখজনক গল্প ছিল।
1990-এর দশকের শুরুতে, জাং ইয়ান প্রাইডিউ বিশ্ববিদ্যালয়ে ডক্টরেট করছিলেন, যার পরামর্শদাতা ছিলেন মো জংজিয়ান। মো জংজিয়ান জ্যাকবি অনুমানের সত্যতায় বিশ্বাস করতেন এবং জাং ইয়ানকে এটিকেই তার ডক্টরাল থিসিসের বিষয় হিসেবে নিতে বলেছিলেন।
মো জংজিয়ান চাং ইয়ানতাংকে একটি “লেমা” দিয়েছিলেন—একটি গণিতীয় প্রস্তাবনা যা সঠিক বলে ধরে নেওয়া হয়েছিল, যা গবেষণার ভিত্তি হিসেবে কাজ করবে। চাং ইয়ানতাং এই পথে গভীরভাবে অগ্রসর হন, এমনকি তাঁর ডক্টরেট থিসিসেও একসময় এই অনুমানের দুর্বল রূপটি সমাধান করেছেন বলে দাবি করেন।
তবে, ভাগ্য একটি নির্মম খেলা খেলেছে।
সমকক্ষ পরীক্ষার মাধ্যমে প্রমাণিত হয়েছে যে জাং ইয়েতাং-এর প্রমাণে ব্যবহৃত সেই কী লেমা ভুল। এবং এই লেমাটি ঠিক তাঁর গুরু মো জংজিয়ানের আগের প্রকাশিত গবেষণামূলক ফলাফল থেকে উদ্ভূত।
বছর খানেক ধরে যিনি তাঁর তত্ত্বের ভবন গড়েছিলেন, হঠাৎ করে বুঝতে পারলেন যে ভিত্তিটি কাঁচা কাঁচা মাটির। সব প্রয়াস, সব যুক্তি, হঠাৎ করে ধ্বংস হয়ে গেল।
মো জংজিয়ান জাং ইয়ানতাংকে "বীজগাণিতিক জ্যামিতির জন্য উপযুক্ত নয়" বলে মনে করেন এবং তাঁর ডক্টরেট জীবনকে "নিজের সাত বছর এবং আমার সময় বর্বরতার সাথে নষ্ট করেছে" বলে মনে করেন। আরও মারাত্মকভাবে, মো জংজিয়ান জাং ইয়ানতাংকে সুপারিশপত্র লেখেননি।
এটি একজন পার্ডিউ বিশ্ববিদ্যালয়ের ডক্টরেট ডিগ্রিধারীকে শিক্ষাগত ক্ষেত্রে এগিয়ে যেতে বাধা দেয়।
চাং ইয়ানতাংকে একাডেমিক জগত ছেড়ে দিতে হয়েছিল এবং দীর্ঘ এক ভ্রমণে পড়েছিলেন। তিনি বিভিন্ন প্রকারের দৈনিক কাজ করেছেন, যার মধ্যে সবচেয়ে বেশি পরিচিত হলো সেবি'সে সাত বছর কাজ করা।
২০১৩ সালের আগে, ৫৮ বছর বয়সী জাং ইয়ান জুন টুইন প্রাইম কনজেকচার সম্পর্কে একটি বিপ্লবী পেপার প্রকাশ করেন, যার ফলে তিনি এক রাতের মধ্যে একজন অজ্ঞাত বিশ্ববিদ্যালয়ের লেকচারার থেকে বিশ্বব্যাপী মনোযোগ আকর্ষণকারী একজন গণিতবিদে পরিণত হন।
কিন্তু বর্জিত সেই সাত বছর চিরকালের জন্য ফিরে পাওয়া যাবে না।
পরে, তিনি নিজের সেই সময়ের অনুভূতি বর্ণনা করতে দু ফুর কবিতা উদ্ধৃত করেন: 'যু শিনের জীবনের সবচেয়ে নির্জন সময়, বৃদ্ধাবস্থায় তার কবিতা ও রচনা নদী ও সীমান্তকে কাঁপিয়ে দেয়।'
আরও হাস্যকর বিষয় হলো, 2018 সালে, যখন চাং ইয়ানতাং জোড়া প্রাইম অনুমানের জন্য বিখ্যাত হন, মো জংজিয়ান বিশেষভাবে একটি স্মৃতিচারণ সংস্করণ যোগ করেন, যা চাং-এর বিরুদ্ধে অভিযোগ আরও শক্তিশালী করে, কিন্তু তাঁর নিজের দায়িত্বকে এখনও হালকা করে।
তিনি এখনও জেকবি অনুমানের সত্যতায় বিশ্বাস রাখেন, এমনকি মনে করেন যে এআই শীঘ্রই প্রমাণের যুক্তিগত সমস্যাগুলি সমাধানে সহায়তা করবে।
আজ, চূড়ান্তভাবে, এআই সহজ বিপরীত উদাহরণ দিয়েছে।
এটা খুব দুঃখজনক।
অবশ্যই উল্লেখ করা প্রয়োজন যে, এই এআই তিন মাত্রিক জ্যাকোবি অনুমানকে বাতিল করেছে, অর্থাৎ সমস্ত মাত্রায় প্রযোজ্য সাধারণীকৃত সংস্করণকে অস্বীকার করেছে।
চাং ইয়ানতাং তখন দ্বিমাত্রিক পরিস্থিতি নিয়ে কাজ করছিলেন, এবং দ্বিমাত্রিক পরিস্থিতি ত্রিমাত্রিকের সহজ নিম্ন-ক্রম সংস্করণ নয়—বরং, দ্বিমাত্রিক পরিস্থিতি এই সমস্যার অধিক গুরুত্বপূর্ণ এবং বর্তমানে দেখা যাচ্ছে এটি আরও কঠিন সমাধানযোগ্য অংশ, যার গণিতীয় গুরুত্ব বেশি এবং এখনও সমাধান করা হয়নি।
কিন্তু এই ঘটনার প্রভাব কমে যায়নি।
ফিল্ডস পুরস্কার বিজয়ী টাইমোথি গাউয়ার্স দুঃখজনক এবং আঘাতকর ভাবে বলেছেন: "2030 সালের ফিল্ডস ম্যাথমেটিক্স পুরস্কার হতে পারে মানুষের জন্য শেষ পুরস্কার।"
প্রসঙ্গ:
https://x.com/search?q=Jared%20Duker%20Lichtman&src=typed_query
এই লেখাটি ওয়েইচ্যাট গ্রুপ "নিউ জিয়েন" থেকে এসেছে, লেখক: ASI প্রকাশনা, সম্পাদক: ডেভিড এনিয়াস